MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgcntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgcntz 17915
Description: A centralizer in a group is the same as the centralizer in the opposite group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
oppggic.o 𝑂 = (oppg𝐺)
oppgcntz.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgcntz (𝑍𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)

Proof of Theorem oppgcntz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2731 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
2 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 oppggic.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (oppg𝐺)
4 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (+g𝑂) = (+g𝑂)
52, 3, 4oppgplus 17900 . . . . . . . 8 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)
62, 3, 4oppgplus 17900 . . . . . . . 8 (𝑦(+g𝑂)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑦)
75, 6eqeq12i 2738 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥) ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
81, 7bitr4i 267 . . . . . 6 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥))
98ralbii 3082 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥))
109anbi2i 732 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥)))
1110anbi2i 732 . . 3 ((𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥))))
12 eqid 2724 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13 oppgcntz.z . . . . . 6 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
1412, 13cntzrcl 17881 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
1514simprd 482 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
1612, 2, 13elcntz 17876 . . . 4 (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
1715, 16biadan2 677 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))))
183, 12oppgbas 17902 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝑂)
19 eqid 2724 . . . . . 6 (Cntz‘𝑂) = (Cntz‘𝑂)
2018, 19cntzrcl 17881 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)))
2120simprd 482 . . . 4 (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺))
2218, 4, 19elcntz 17876 . . . 4 (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥))))
2321, 22biadan2 677 . . 3 (𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥(+g𝑂)𝑦) = (𝑦(+g𝑂)𝑥))))
2411, 17, 233bitr4i 292 . 2 (𝑥 ∈ (𝑍𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ((Cntz‘𝑂)‘𝐴))
2524eqriv 2721 1 (𝑍𝐴) = ((Cntz‘𝑂)‘𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  Vcvv 3304  wss 3680  cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  +gcplusg 16064  Cntzccntz 17869  oppgcoppg 17896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-tpos 7472  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-plusg 16077  df-cntz 17871  df-oppg 17897
This theorem is referenced by:  oppgcntr  17916  gsumzoppg  18465  gsumzinv  18466
  Copyright terms: Public domain W3C validator