Theorem oppchofcl 17022

Description: Closure of the opposite Hom functor. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppchofcl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppchofcl.m	⊢ 𝑀 = (HomF‘𝑂)
oppchofcl.d	⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
oppchofcl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oppchofcl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
oppchofcl.h	⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
oppchofcl	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))

Proof of Theorem oppchofcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppchofcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (HomF‘𝑂)
2		eqid 2724	. . 3 ⊢ (oppCat‘𝑂) = (oppCat‘𝑂)
3		oppchofcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (SetCat‘𝑈)
4		oppchofcl.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		oppchofcl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
6	5	oppccat 16504	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝑂 ∈ Cat)
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Cat)
8		oppchofcl.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
9		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
10	5, 9	oppchomf 16502	. . . . . 6 ⊢ tpos (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝑂)
11	10	rneqi 5459	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝑂)
12		relxp 5235	. . . . . . 7 ⊢ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
13		eqid 2724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
14	9, 13	homffn 16475	. . . . . . . . 9 ⊢ (Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
15		fndm 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Homf ‘𝐶) Fn ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)) → dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom (Homf ‘𝐶) = ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))
17	16	releqi 5311	. . . . . . 7 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) ↔ Rel ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))
18	12, 17	mpbir 221	. . . . . 6 ⊢ Rel dom (Homf ‘𝐶)
19		rntpos 7485	. . . . . 6 ⊢ (Rel dom (Homf ‘𝐶) → ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran tpos (Homf ‘𝐶) = ran (Homf ‘𝐶)
21	11, 20	eqtr3i 2748	. . . 4 ⊢ ran (Homf ‘𝑂) = ran (Homf ‘𝐶)
22		oppchofcl.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ 𝑈)
23	21, 22	syl5eqss 3755	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝑂) ⊆ 𝑈)
24	1, 2, 3, 7, 8, 23	hofcl 17021	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
25	5	2oppchomf 16506	. . . . 5 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂))
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘(oppCat‘𝑂)))
27	5	2oppccomf 16507	. . . . 5 ⊢ (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂))
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘(oppCat‘𝑂)))
29		eqidd 2725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝑂) = (Homf ‘𝑂))
30		eqidd 2725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝑂) = (compf‘𝑂))
31	2	oppccat 16504	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Cat → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
32	7, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝑂) ∈ Cat)
33	26, 28, 29, 30, 4, 32, 7, 7	xpcpropd 16970	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ×c 𝑂) = ((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂))
34	33	oveq1d 6780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷) = (((oppCat‘𝑂) ×c 𝑂) Func 𝐷))
35	24, 34	eleqtrrd 2806	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((𝐶 ×c 𝑂) Func 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ⊆ wss 3680   × cxp 5216  dom cdm 5218  ran crn 5219  Rel wrel 5223   Fn wfn 5996  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  tpos ctpos 7471  Basecbs 15980  Catccat 16447  Hom_f chomf 16449  comp_fccomf 16450  oppCatcoppc 16493   Func cfunc 16636  SetCatcsetc 16847   ×_c cxpc 16930  Hom_Fchof 17010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-tpos 7472  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-hom 16089  df-cco 16090  df-cat 16451  df-cid 16452  df-homf 16453  df-comf 16454  df-oppc 16494  df-func 16640  df-setc 16848  df-xpc 16934  df-hof 17012

This theorem is referenced by:  yoncl  17024  yon11  17026  yon12  17027  yon2  17028  yonpropd  17030