MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppcbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppcbas 16599
Description: Base set of an opposite category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oppcbas.1 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppcbas.2 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
oppcbas 𝐵 = (Base‘𝑂)

Proof of Theorem oppcbas
Dummy variables 𝑢 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oppcbas.2 . 2 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3 eqid 2760 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
4 eqid 2760 . . . . . 6 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
5 oppcbas.1 . . . . . 6 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
62, 3, 4, 5oppcval 16594 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → 𝑂 = ((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩))
76fveq2d 6357 . . . 4 (𝐶 ∈ V → (Base‘𝑂) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩)))
8 baseid 16141 . . . . . 6 Base = Slot (Base‘ndx)
9 1re 10251 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
10 1nn 11243 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
11 4nn0 11523 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
12 1nn0 11520 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
13 1lt10 11893 . . . . . . . . 9 1 < 10
1410, 11, 12, 13declti 11758 . . . . . . . 8 1 < 14
159, 14ltneii 10362 . . . . . . 7 1 ≠ 14
16 basendx 16145 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) = 1
17 homndx 16296 . . . . . . . 8 (Hom ‘ndx) = 14
1816, 17neeq12i 2998 . . . . . . 7 ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ 1 ≠ 14)
1915, 18mpbir 221 . . . . . 6 (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
208, 19setsnid 16137 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩))
21 5nn 11400 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ
22 4lt5 11412 . . . . . . . . . 10 4 < 5
2312, 11, 21, 22declt 11742 . . . . . . . . 9 14 < 15
24 4nn 11399 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ
2512, 24decnncl 11730 . . . . . . . . . . 11 14 ∈ ℕ
2625nnrei 11241 . . . . . . . . . 10 14 ∈ ℝ
2712, 21decnncl 11730 . . . . . . . . . . 11 15 ∈ ℕ
2827nnrei 11241 . . . . . . . . . 10 15 ∈ ℝ
299, 26, 28lttri 10375 . . . . . . . . 9 ((1 < 14 ∧ 14 < 15) → 1 < 15)
3014, 23, 29mp2an 710 . . . . . . . 8 1 < 15
319, 30ltneii 10362 . . . . . . 7 1 ≠ 15
32 ccondx 16298 . . . . . . . 8 (comp‘ndx) = 15
3316, 32neeq12i 2998 . . . . . . 7 ((Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ 1 ≠ 15)
3431, 33mpbir 221 . . . . . 6 (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
358, 34setsnid 16137 . . . . 5 (Base‘(𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩)) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩))
3620, 35eqtri 2782 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘((𝐶 sSet ⟨(Hom ‘ndx), tpos (Hom ‘𝐶)⟩) sSet ⟨(comp‘ndx), (𝑢 ∈ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)), 𝑧 ∈ (Base‘𝐶) ↦ tpos (⟨𝑧, (2nd𝑢)⟩(comp‘𝐶)(1st𝑢)))⟩))
377, 36syl6reqr 2813 . . 3 (𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
38 base0 16134 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
39 fvprc 6347 . . . 4 𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = ∅)
40 fvprc 6347 . . . . . 6 𝐶 ∈ V → (oppCat‘𝐶) = ∅)
415, 40syl5eq 2806 . . . . 5 𝐶 ∈ V → 𝑂 = ∅)
4241fveq2d 6357 . . . 4 𝐶 ∈ V → (Base‘𝑂) = (Base‘∅))
4338, 39, 423eqtr4a 2820 . . 3 𝐶 ∈ V → (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂))
4437, 43pm2.61i 176 . 2 (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
451, 44eqtri 2782 1 𝐵 = (Base‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  c0 4058  cop 4327   class class class wbr 4804   × cxp 5264  cfv 6049  (class class class)co 6814  cmpt2 6816  1st c1st 7332  2nd c2nd 7333  tpos ctpos 7521  1c1 10149   < clt 10286  4c4 11284  5c5 11285  cdc 11705  ndxcnx 16076   sSet csts 16077  Basecbs 16079  Hom chom 16174  compcco 16175  oppCatcoppc 16592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-hom 16188  df-cco 16189  df-oppc 16593
This theorem is referenced by:  oppccatid  16600  oppchomf  16601  2oppcbas  16604  2oppccomf  16606  oppccomfpropd  16608  isepi  16621  epii  16624  oppcsect  16659  oppcsect2  16660  oppcinv  16661  oppciso  16662  sectepi  16665  episect  16666  funcoppc  16756  fulloppc  16803  fthoppc  16804  fthepi  16809  hofcl  17120  yon11  17125  yon12  17126  yon2  17127  oyon1cl  17132  yonedalem21  17134  yonedalem3a  17135  yonedalem4c  17138  yonedalem22  17139  yonedalem3b  17140  yonedalem3  17141  yonedainv  17142  yonffthlem  17143
  Copyright terms: Public domain W3C validator