Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opococ Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opococ 35004
Description: Double negative law for orthoposets. (ococ 28605 analog.) (Contributed by NM, 13-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opoccl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
opoccl.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opococ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)

Proof of Theorem opococ
StepHypRef Expression
1 opoccl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2771 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 opoccl.o . . . . 5 = (oc‘𝐾)
4 eqid 2771 . . . . 5 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5 eqid 2771 . . . . 5 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
6 eqid 2771 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 eqid 2771 . . . . 5 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7oposlem 34991 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → ((( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( 𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( 𝑋)) = (0.‘𝐾)))
983anidm23 1531 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ((( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑋))) ∧ (𝑋(join‘𝐾)( 𝑋)) = (1.‘𝐾) ∧ (𝑋(meet‘𝐾)( 𝑋)) = (0.‘𝐾)))
109simp1d 1136 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (( 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ( ‘( 𝑋)) = 𝑋 ∧ (𝑋(le‘𝐾)𝑋 → ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑋))))
1110simp2d 1137 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  occoc 16157  joincjn 17152  meetcmee 17153  0.cp0 17245  1.cp1 17246  OPcops 34981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-nul 4923
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oposet 34985
This theorem is referenced by:  opcon3b  35005  opcon2b  35006  oplecon3b  35009  oplecon1b  35010  opltcon1b  35014  opltcon2b  35015  oldmm2  35027  oldmm3N  35028  oldmm4  35029  oldmj1  35030  oldmj2  35031  oldmj3  35032  oldmj4  35033  olm11  35036  omllaw4  35055  cmt2N  35059  glbconN  35185  1cvratex  35281  1cvrjat  35283  polval2N  35714  2polpmapN  35721  2polvalN  35722  2polatN  35740  lhpoc2N  35823  doch2val2  37174  dochocss  37176  dochoc  37177
  Copyright terms: Public domain W3C validator