Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opoc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opoc1 35011
 Description: Orthocomplement of orthoposet unit. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
opoc1.z 0 = (0.‘𝐾)
opoc1.u 1 = (1.‘𝐾)
opoc1.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opoc1 (𝐾 ∈ OP → ( 1 ) = 0 )

Proof of Theorem opoc1
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 opoc1.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
31, 2op0cl 34993 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
4 opoc1.o . . . . . 6 = (oc‘𝐾)
51, 4opoccl 35003 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
63, 5mpdan 667 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → ( 0 ) ∈ (Base‘𝐾))
7 eqid 2771 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 opoc1.u . . . . 5 1 = (1.‘𝐾)
91, 7, 8ople1 35000 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 0 ) ∈ (Base‘𝐾)) → ( 0 )(le‘𝐾) 1 )
106, 9mpdan 667 . . 3 (𝐾 ∈ OP → ( 0 )(le‘𝐾) 1 )
111, 8op1cl 34994 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
121, 7, 4oplecon1b 35010 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾)) → (( 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( 0 )(le‘𝐾) 1 ))
1311, 3, 12mpd3an23 1574 . . 3 (𝐾 ∈ OP → (( 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( 0 )(le‘𝐾) 1 ))
1410, 13mpbird 247 . 2 (𝐾 ∈ OP → ( 1 )(le‘𝐾) 0 )
151, 4opoccl 35003 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 1 ) ∈ (Base‘𝐾))
1611, 15mpdan 667 . . 3 (𝐾 ∈ OP → ( 1 ) ∈ (Base‘𝐾))
171, 7, 2ople0 34996 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 1 ) ∈ (Base‘𝐾)) → (( 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( 1 ) = 0 ))
1816, 17mpdan 667 . 2 (𝐾 ∈ OP → (( 1 )(le‘𝐾) 0 ↔ ( 1 ) = 0 ))
1914, 18mpbid 222 1 (𝐾 ∈ OP → ( 1 ) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030  Basecbs 16064  lecple 16156  occoc 16157  0.cp0 17245  1.cp1 17246  OPcops 34981 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-preset 17136  df-poset 17154  df-lub 17182  df-glb 17183  df-p0 17247  df-p1 17248  df-oposet 34985 This theorem is referenced by:  opoc0  35012  olm11  35036  1cvrco  35281  1cvrjat  35284  pol1N  35719  doch1  37169
 Copyright terms: Public domain W3C validator