Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnreen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnreen 22835
 Description: Every nonempty open set is uncountable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
opnreen ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ 𝒫 ℕ)

Proof of Theorem opnreen
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10219 . . . . 5 ℝ ∈ V
2 elssuni 4619 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 (topGen‘ran (,)))
3 uniretop 22767 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
42, 3syl6sseqr 3793 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5 ssdomg 8167 . . . . 5 (ℝ ∈ V → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ≼ ℝ))
61, 4, 5mpsyl 68 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ≼ ℝ)
7 rpnnen 15155 . . . 4 ℝ ≈ 𝒫 ℕ
8 domentr 8180 . . . 4 ((𝐴 ≼ ℝ ∧ ℝ ≈ 𝒫 ℕ) → 𝐴 ≼ 𝒫 ℕ)
96, 7, 8sylancl 697 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ≼ 𝒫 ℕ)
109adantr 472 . 2 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ 𝒫 ℕ)
11 n0 4074 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
124sselda 3744 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
13 rpnnen2 15154 . . . . . . . . . . . . 13 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
14 rphalfcl 12051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
1514rpred 12065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
16 resubcl 10537 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
1715, 16sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
18 readdcl 10211 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
1915, 18sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
20 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
21 ltsubrp 12059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) < 𝑥)
2214, 21sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) < 𝑥)
23 ltaddrp 12060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 < (𝑥 + (𝑦 / 2)))
2414, 23sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥 < (𝑥 + (𝑦 / 2)))
2517, 20, 19, 22, 24lttrd 10390 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) < (𝑥 + (𝑦 / 2)))
26 iccen 12510 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 − (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 − (𝑦 / 2)) < (𝑥 + (𝑦 / 2))) → (0[,]1) ≈ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
2717, 19, 25, 26syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (0[,]1) ≈ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
28 domentr 8180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≈ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2)))) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
2913, 27, 28sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
30 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ∈ V
31 rpre 12032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
32 resubcl 10537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
3331, 32sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
3433rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ*)
35 readdcl 10211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3631, 35sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3736rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
3820recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
3915adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
4039recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
4138, 40, 40subsub4d 10615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2)) − (𝑦 / 2)) = (𝑥 − ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
4231adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
4342recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
44432halvesd 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
4544oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝑥𝑦))
4641, 45eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2)) − (𝑦 / 2)) = (𝑥𝑦))
4714adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
4817, 47ltsubrpd 12097 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2)) − (𝑦 / 2)) < (𝑥 − (𝑦 / 2)))
4946, 48eqbrtrrd 4828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑦) < (𝑥 − (𝑦 / 2)))
50 ltaddrp 12060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) < ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
5119, 47, 50syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) < ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
5238, 40, 40addassd 10254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝑥 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
5344oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝑥 + 𝑦))
5452, 53eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝑥 + 𝑦))
5551, 54breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) < (𝑥 + 𝑦))
56 iccssioo 12435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥𝑦) < (𝑥 − (𝑦 / 2)) ∧ (𝑥 + (𝑦 / 2)) < (𝑥 + 𝑦))) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ⊆ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
5734, 37, 49, 55, 56syl22anc 1478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ⊆ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
58 ssdomg 8167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ∈ V → (((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ⊆ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ≼ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦))))
5930, 57, 58mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ≼ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
60 domtr 8174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ∧ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ≼ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦))) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
6129, 59, 60syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
62 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
6362bl2ioo 22796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
6431, 63sylan2 492 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
6561, 64breqtrrd 4832 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦))
6612, 65sylan 489 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦))
6766adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦))
68 simplll 815 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
69 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
70 ssdomg 8167 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ≼ 𝐴))
7168, 69, 70sylc 65 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ≼ 𝐴)
72 domtr 8174 . . . . . . . 8 ((𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ≼ 𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
7367, 71, 72syl2anc 696 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
74 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7562, 74tgioo 22800 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7675eleq2i 2831 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ 𝐴 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
7762rexmet 22795 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
7874mopni2 22499 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
7977, 78mp3an1 1560 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
8076, 79sylanb 490 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
8173, 80r19.29a 3216 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
8281ex 449 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑥𝐴 → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴))
8382exlimdv 2010 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (∃𝑥 𝑥𝐴 → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴))
8411, 83syl5bi 232 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴))
8584imp 444 . 2 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
86 sbth 8245 . 2 ((𝐴 ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝒫 ℕ)
8710, 85, 86syl2anc 696 1 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ 𝒫 ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  𝒫 cpw 4302  ∪ cuni 4588   class class class wbr 4804   × cxp 5264  ran crn 5267   ↾ cres 5268   ∘ ccom 5270  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ≈ cen 8118   ≼ cdom 8119  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   − cmin 10458   / cdiv 10876  ℕcn 11212  2c2 11262  ℝ+crp 12025  (,)cioo 12368  [,]cicc 12371  abscabs 14173  topGenctg 16300  ∞Metcxmt 19933  ballcbl 19935  MetOpencmopn 19938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952 This theorem is referenced by:  rectbntr0  22836
 Copyright terms: Public domain W3C validator