MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneiss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneiss 21124
Description: An open set is a neighborhood of any of its subsets. (Contributed by NM, 13-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
opnneiss ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem opnneiss
StepHypRef Expression
1 simp3 1133 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑁) → 𝑆𝑁)
2 eqid 2760 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
32eltopss 20914 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽) → 𝑁 𝐽)
4 sstr 3752 . . . . 5 ((𝑆𝑁𝑁 𝐽) → 𝑆 𝐽)
54ancoms 468 . . . 4 ((𝑁 𝐽𝑆𝑁) → 𝑆 𝐽)
63, 5stoic3 1850 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑁) → 𝑆 𝐽)
72opnneissb 21120 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆 𝐽) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
86, 7syld3an3 1516 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑁) → (𝑆𝑁𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
91, 8mpbid 222 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑆𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072  wcel 2139  wss 3715   cuni 4588  cfv 6049  Topctop 20900  neicnei 21103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-top 20901  df-nei 21104
This theorem is referenced by:  opnneip  21125  tpnei  21127  topssnei  21130  opnneiid  21132  neissex  21133  cmpkgen  21556
  Copyright terms: Public domain W3C validator