MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnneip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnneip 21145
Description: An open set is a neighborhood of any of its members. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
opnneip ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑃𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))

Proof of Theorem opnneip
StepHypRef Expression
1 snssi 4484 . 2 (𝑃𝑁 → {𝑃} ⊆ 𝑁)
2 opnneiss 21144 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽 ∧ {𝑃} ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
31, 2syl3an3 1170 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁𝐽𝑃𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072  wcel 2139  wss 3715  {csn 4321  cfv 6049  Topctop 20920  neicnei 21123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-top 20921  df-nei 21124
This theorem is referenced by:  opnnei  21146  neindisj2  21149  iscnp4  21289  cnpnei  21290  hausnei2  21379  llynlly  21502  nllyrest  21511  nllyidm  21514  hausllycmp  21519  cldllycmp  21520  txnlly  21662  flimfil  21994  flimopn  22000  fbflim2  22002  hausflimlem  22004  flimcf  22007  flimsncls  22011  fclsnei  22044  fcfnei  22060  cnextcn  22092  utopreg  22277  blnei  22528  cnllycmp  22976  flimcfil  23332  limcflf  23864  rrhre  30395  cvmlift2lem12  31624
  Copyright terms: Public domain W3C validator