MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opncld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opncld 21031
Description: The complement of an open set is closed. (Contributed by NM, 6-Oct-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
iscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
opncld ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑋𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem opncld
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆𝐽)
2 iscld.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
32eltopss 20906 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆𝑋)
42isopn2 21030 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆𝐽 ↔ (𝑋𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽)))
53, 4syldan 488 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑆𝐽 ↔ (𝑋𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽)))
61, 5mpbid 222 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑋𝑆) ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  cdif 3704  wss 3707   cuni 4580  cfv 6041  Topctop 20892  Clsdccld 21014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fv 6049  df-top 20893  df-cld 21017
This theorem is referenced by:  iincld  21037  iuncld  21043  clsval2  21048  cmntrcld  21061  elcls  21071  opncldf1  21082  opncldf2  21083  restcld  21170  iscncl  21267  pnrmopn  21341  isnrm2  21356  isnrm3  21357  isreg2  21375  hauscmplem  21403  conndisj  21413  hausllycmp  21491  1stckgen  21551  txkgen  21649  qtoprest  21714  qtopcmap  21716  icopnfcld  22764  lebnumlem1  22953  bcth3  23320  sxbrsigalem3  30635  pconnconn  31512  cvmscld  31554  cldbnd  32619  mblfinlem3  33753  mblfinlem4  33754
  Copyright terms: Public domain W3C validator