Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opltn0 34998
Description: A lattice element greater than zero is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
opltne0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltne0.s < = (lt‘𝐾)
opltne0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opltn0 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋𝑋0 ))

Proof of Theorem opltn0
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
2 opltne0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 opltne0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
42, 3op0cl 34992 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
54adantr 472 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
6 simpr 479 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2760 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 opltne0.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
97, 8pltval 17181 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
101, 5, 6, 9syl3anc 1477 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
11 necom 2985 . . 3 (𝑋00𝑋)
122, 7, 3op0le 34994 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
1312biantrurd 530 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
1411, 13syl5rbb 273 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋) ↔ 𝑋0 ))
1510, 14bitrd 268 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋𝑋0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16079  lecple 16170  ltcplt 17162  0.cp0 17258  OPcops 34980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-plt 17179  df-glb 17196  df-p0 17260  df-oposet 34984
This theorem is referenced by:  atle  35243  dalemcea  35467  2atm2atN  35592  dia2dimlem2  36874  dia2dimlem3  36875
  Copyright terms: Public domain W3C validator