Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ople1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ople1 35000
Description: Any element is less than the orthoposet unit. (chss 28426 analog.) (Contributed by NM, 23-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ople1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ople1.l = (le‘𝐾)
ople1.u 1 = (1.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
ople1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 1 )

Proof of Theorem ople1
StepHypRef Expression
1 ople1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2771 . 2 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 ople1.l . 2 = (le‘𝐾)
4 ople1.u . 2 1 = (1.‘𝐾)
5 simpl 468 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6 simpr 471 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2771 . . . . 5 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
81, 2, 7op01dm 34992 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
98simpld 482 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾))
109adantr 466 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10ple1 17252 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  cfv 6031  Basecbs 16064  lecple 16156  lubclub 17150  glbcglb 17151  1.cp1 17246  OPcops 34981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-lub 17182  df-p1 17248  df-oposet 34985
This theorem is referenced by:  op1le  35001  glb0N  35002  opoc1  35011  ncvr1  35081  1cvrat  35284  pmap1N  35575  pol1N  35718  dih1  37096  dihjatc  37227
  Copyright terms: Public domain W3C validator