MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opfi1ind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opfi1ind 13486
Description: Properties of an ordered pair with a finite first component, proven by finite induction on the size of the first component. This theorem can be applied for graphs (represented as orderd pairs of vertices and edges) with a finite number of vertices, e.g. fusgrfis 26445. (Contributed by AV, 22-Oct-2020.) (Revised by AV, 28-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
opfi1ind.e 𝐸 ∈ V
opfi1ind.f 𝐹 ∈ V
opfi1ind.1 ((𝑣 = 𝑉𝑒 = 𝐸) → (𝜓𝜑))
opfi1ind.2 ((𝑣 = 𝑤𝑒 = 𝑓) → (𝜓𝜃))
opfi1ind.3 ((⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ 𝐺𝑛𝑣) → ⟨(𝑣 ∖ {𝑛}), 𝐹⟩ ∈ 𝐺)
opfi1ind.4 ((𝑤 = (𝑣 ∖ {𝑛}) ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝜃𝜒))
opfi1ind.base ((⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ 𝐺 ∧ (♯‘𝑣) = 0) → 𝜓)
opfi1ind.step ((((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ 𝐺 ∧ (♯‘𝑣) = (𝑦 + 1) ∧ 𝑛𝑣)) ∧ 𝜒) → 𝜓)
Assertion
Ref Expression
opfi1ind ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ 𝐺𝑉 ∈ Fin) → 𝜑)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸,𝑛,𝑣   𝑓,𝐹,𝑤   𝑒,𝐺,𝑓,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦   𝑒,𝑉,𝑛,𝑣   𝜓,𝑓,𝑛,𝑤,𝑦   𝜃,𝑒,𝑛,𝑣   𝜒,𝑓,𝑤   𝜑,𝑒,𝑛,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑤,𝑓)   𝜓(𝑣,𝑒)   𝜒(𝑦,𝑣,𝑒,𝑛)   𝜃(𝑦,𝑤,𝑓)   𝐸(𝑦,𝑤,𝑓)   𝐹(𝑦,𝑣,𝑒,𝑛)   𝑉(𝑦,𝑤,𝑓)

Proof of Theorem opfi1ind
StepHypRef Expression
1 hashge0 13378 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → 0 ≤ (♯‘𝑉))
21adantl 467 . 2 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ 𝐺𝑉 ∈ Fin) → 0 ≤ (♯‘𝑉))
3 opfi1ind.e . . 3 𝐸 ∈ V
4 opfi1ind.f . . 3 𝐹 ∈ V
5 0nn0 11514 . . 3 0 ∈ ℕ0
6 opfi1ind.1 . . 3 ((𝑣 = 𝑉𝑒 = 𝐸) → (𝜓𝜑))
7 opfi1ind.2 . . 3 ((𝑣 = 𝑤𝑒 = 𝑓) → (𝜓𝜃))
8 opfi1ind.3 . . 3 ((⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ 𝐺𝑛𝑣) → ⟨(𝑣 ∖ {𝑛}), 𝐹⟩ ∈ 𝐺)
9 opfi1ind.4 . . 3 ((𝑤 = (𝑣 ∖ {𝑛}) ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝜃𝜒))
10 opfi1ind.base . . 3 ((⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ 𝐺 ∧ (♯‘𝑣) = 0) → 𝜓)
11 opfi1ind.step . . 3 ((((𝑦 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (⟨𝑣, 𝑒⟩ ∈ 𝐺 ∧ (♯‘𝑣) = (𝑦 + 1) ∧ 𝑛𝑣)) ∧ 𝜒) → 𝜓)
123, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11opfi1uzind 13485 . 2 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ 𝐺𝑉 ∈ Fin ∧ 0 ≤ (♯‘𝑉)) → 𝜑)
132, 12mpd3an3 1573 1 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ ∈ 𝐺𝑉 ∈ Fin) → 𝜑)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cdif 3720  {csn 4317  cop 4323   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  Fincfn 8113  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  cle 10281  0cn0 11499  chash 13321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-hash 13322
This theorem is referenced by:  fusgrfis  26445  cusgrsize  26585  finsumvtxdg2size  26681
  Copyright terms: Public domain W3C validator