Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  op0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem op0cl 34993
Description: An orthoposet has a zero element. (h0elch 28452 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
op0cl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
op0cl.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
op0cl (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)

Proof of Theorem op0cl
StepHypRef Expression
1 op0cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2771 . . 3 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3 op0cl.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3p0val 17249 . 2 (𝐾 ∈ OP → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5 id 22 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ OP)
6 eqid 2771 . . . . 5 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
71, 6, 2op01dm 34992 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → (𝐵 ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾)))
87simprd 483 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
91, 2, 5, 8glbcl 17206 . 2 (𝐾 ∈ OP → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
104, 9eqeltrd 2850 1 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  dom cdm 5250  cfv 6030  Basecbs 16064  lubclub 17150  glbcglb 17151  0.cp0 17245  OPcops 34981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-glb 17183  df-p0 17247  df-oposet 34985
This theorem is referenced by:  ople0  34996  lub0N  34998  opltn0  34999  opoc1  35011  opoc0  35012  olj01  35034  olj02  35035  olm01  35045  olm02  35046  0ltat  35100  leatb  35101  hlhgt2  35198  hl0lt1N  35199  hl2at  35214  atcvr0eq  35235  lnnat  35236  atle  35245  athgt  35265  1cvratex  35282  ps-2  35287  dalemcea  35469  pmapeq0  35575  2atm2atN  35594  lhp0lt  35812  lhpn0  35813  ltrnatb  35946  ltrnmwOLD  35961  cdleme3c  36040  cdleme7e  36057  dia0eldmN  36850  dia2dimlem2  36875  dia2dimlem3  36876  dib0  36974  dih0  37090  dih0bN  37091  dih0rn  37094  dihlspsnssN  37142  dihlspsnat  37143  dihatexv  37148
  Copyright terms: Public domain W3C validator