MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onwf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onwf 8858
Description: The ordinals are all well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onwf On ⊆ (𝑅1 “ On)

Proof of Theorem onwf
StepHypRef Expression
1 r1fnon 8795 . . 3 𝑅1 Fn On
2 fndm 6143 . . 3 (𝑅1 Fn On → dom 𝑅1 = On)
31, 2ax-mp 5 . 2 dom 𝑅1 = On
4 rankonidlem 8856 . . . 4 (𝑥 ∈ dom 𝑅1 → (𝑥 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝑥) = 𝑥))
54simpld 477 . . 3 (𝑥 ∈ dom 𝑅1𝑥 (𝑅1 “ On))
65ssriv 3740 . 2 dom 𝑅1 (𝑅1 “ On)
73, 6eqsstr3i 3769 1 On ⊆ (𝑅1 “ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1624  wcel 2131  wss 3707   cuni 4580  dom cdm 5258  cima 5261  Oncon0 5876   Fn wfn 6036  cfv 6041  𝑅1cr1 8790  rankcrnk 8791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-r1 8792  df-rank 8793
This theorem is referenced by:  dfac12r  9152  r1tskina  9788
  Copyright terms: Public domain W3C validator