Theorem ontri1 5795

Description: A trichotomy law for ordinal numbers. (Contributed by NM, 6-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ontri1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ontri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 5771	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		eloni 5771	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3		ordtri1 5794	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 493	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  Ord word 5760  Oncon0 5761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-tr 4786  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-ord 5764  df-on 5765

This theorem is referenced by:  oneqmini  5814  onmindif  5853  onint  7037  onnmin  7045  onmindif2  7054  dfom2  7109  ondif2  7627  oaword  7674  oawordeulem  7679  oaf1o  7688  odi  7704  omeulem1  7707  oeeulem  7726  oeeui  7727  nnmword  7758  domtriord  8147  sdomel  8148  onsdominel  8150  ordunifi  8251  cantnfp1lem3  8615  oemapvali  8619  cantnflem1b  8621  cantnflem1  8624  cnfcom3lem  8638  rankr1clem  8721  rankelb  8725  rankval3b  8727  rankr1a  8737  unbndrank  8743  rankxplim3  8782  cardne  8829  carden2b  8831  cardsdomel  8838  carddom2  8841  harcard  8842  domtri2  8853  infxpenlem  8874  alephord  8936  alephord3  8939  alephle  8949  dfac12k  9007  cflim2  9123  cofsmo  9129  cfsmolem  9130  isf32lem5  9217  pwcfsdom  9443  pwfseqlem3  9520  inar1  9635  om2uzlt2i  12790  sltval2  31934  sltres  31940  nosepssdm  31961  nolt02olem  31969  nolt02o  31970  noetalem3  31990  nocvxminlem  32018  onsuct0  32565  onint1  32573