Theorem onsuctop 32759

Description: A successor ordinal number is a topology. (Contributed by Chen-Pang He, 11-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onsuctop	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)

Proof of Theorem onsuctop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ontgsucval 32758	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) = suc 𝐴)
2		suceloni 7179	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
3		ontopbas 32754	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ TopBases)
4		tgcl 20995	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ TopBases → (topGen‘suc 𝐴) ∈ Top)
5	2, 3, 4	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (topGen‘suc 𝐴) ∈ Top)
6	1, 5	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139  Oncon0 5884  suc csuc 5886  ‘cfv 6049  topGenctg 16320  Topctop 20920  TopBasesctb 20971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-ord 5887  df-on 5888  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-topgen 16326  df-top 20921  df-bases 20972

This theorem is referenced by:  onsuctopon  32760  ordtop  32762  onsucconni  32763  onsucsuccmpi  32769