MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onoviun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onoviun 7485
Description: A variant of onovuni 7484 with indexed unions. (Contributed by Eric Schmidt, 26-May-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
onovuni.1 (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = 𝑥𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
onovuni.2 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))
Assertion
Ref Expression
onoviun ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 𝑧𝐾 𝐿) = 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem onoviun
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun3g 5410 . . . 4 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On → 𝑧𝐾 𝐿 = ran (𝑧𝐾𝐿))
213ad2ant2 1103 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝑧𝐾 𝐿 = ran (𝑧𝐾𝐿))
32oveq2d 6706 . 2 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 𝑧𝐾 𝐿) = (𝐴𝐹 ran (𝑧𝐾𝐿)))
4 simp1 1081 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾𝑇)
5 mptexg 6525 . . . 4 (𝐾𝑇 → (𝑧𝐾𝐿) ∈ V)
6 rnexg 7140 . . . 4 ((𝑧𝐾𝐿) ∈ V → ran (𝑧𝐾𝐿) ∈ V)
74, 5, 63syl 18 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧𝐾𝐿) ∈ V)
8 simp2 1082 . . . . 5 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On)
9 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑧𝐾𝐿) = (𝑧𝐾𝐿)
109fmpt 6421 . . . . 5 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ↔ (𝑧𝐾𝐿):𝐾⟶On)
118, 10sylib 208 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑧𝐾𝐿):𝐾⟶On)
12 frn 6091 . . . 4 ((𝑧𝐾𝐿):𝐾⟶On → ran (𝑧𝐾𝐿) ⊆ On)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧𝐾𝐿) ⊆ On)
14 dmmptg 5670 . . . . . 6 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On → dom (𝑧𝐾𝐿) = 𝐾)
15143ad2ant2 1103 . . . . 5 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧𝐾𝐿) = 𝐾)
16 simp3 1083 . . . . 5 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝐾 ≠ ∅)
1715, 16eqnetrd 2890 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → dom (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅)
18 dm0rn0 5374 . . . . 5 (dom (𝑧𝐾𝐿) = ∅ ↔ ran (𝑧𝐾𝐿) = ∅)
1918necon3bii 2875 . . . 4 (dom (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅ ↔ ran (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅)
2017, 19sylib 208 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → ran (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅)
21 onovuni.1 . . . 4 (Lim 𝑦 → (𝐴𝐹𝑦) = 𝑥𝑦 (𝐴𝐹𝑥))
22 onovuni.2 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ On ∧ 𝑥𝑦) → (𝐴𝐹𝑥) ⊆ (𝐴𝐹𝑦))
2321, 22onovuni 7484 . . 3 ((ran (𝑧𝐾𝐿) ∈ V ∧ ran (𝑧𝐾𝐿) ⊆ On ∧ ran (𝑧𝐾𝐿) ≠ ∅) → (𝐴𝐹 ran (𝑧𝐾𝐿)) = 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
247, 13, 20, 23syl3anc 1366 . 2 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 ran (𝑧𝐾𝐿)) = 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥))
25 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐿 → (𝐴𝐹𝑥) = (𝐴𝐹𝐿))
2625eleq2d 2716 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐿 → (𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
279, 26rexrnmpt 6409 . . . . 5 (∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
28273ad2ant2 1103 . . . 4 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿)))
29 eliun 4556 . . . 4 (𝑤 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝑥))
30 eliun 4556 . . . 4 (𝑤 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿) ↔ ∃𝑧𝐾 𝑤 ∈ (𝐴𝐹𝐿))
3128, 29, 303bitr4g 303 . . 3 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝑤 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥) ↔ 𝑤 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿)))
3231eqrdv 2649 . 2 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ ran (𝑧𝐾𝐿)(𝐴𝐹𝑥) = 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
333, 24, 323eqtrd 2689 1 ((𝐾𝑇 ∧ ∀𝑧𝐾 𝐿 ∈ On ∧ 𝐾 ≠ ∅) → (𝐴𝐹 𝑧𝐾 𝐿) = 𝑧𝐾 (𝐴𝐹𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   cuni 4468   ciun 4552  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  Oncon0 5761  Lim wlim 5762  wf 5922  (class class class)co 6690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693
This theorem is referenced by:  oeoalem  7721  oeoelem  7723
  Copyright terms: Public domain W3C validator