Theorem onint0 7162

Description: The intersection of a class of ordinal numbers is zero iff the class contains zero. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
onint0	⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem onint0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4942	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
2		eleq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
3	1, 2	mpbiri 248	. . . . . 6 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 ∈ V)
4		intex 4969	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
5	3, 4	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
6		onint 7161	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
7	5, 6	sylan2 492	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ ∩ 𝐴 = ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐴)
8		eleq1 2827	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
9	8	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ ∩ 𝐴 = ∅) → (∩ 𝐴 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
10	7, 9	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ On ∧ ∩ 𝐴 = ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
11	10	ex 449	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 = ∅ → ∅ ∈ 𝐴))
12		int0el 4660	. 2 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ∩ 𝐴 = ∅)
13	11, 12	impbid1 215	1 ⊢ (𝐴 ⊆ On → (∩ 𝐴 = ∅ ↔ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ∩ cint 4627  Oncon0 5884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-ord 5887  df-on 5888

This theorem is referenced by:  cfeq0  9290