MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onenon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onenon 8813
Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
onenon (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon
StepHypRef Expression
1 enrefg 8029 . 2 (𝐴 ∈ On → 𝐴𝐴)
2 isnumi 8810 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
31, 2mpdan 703 1 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Oncon0 5761  cen 7994  cardccrd 8799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-en 7998  df-card 8803
This theorem is referenced by:  oncardval  8819  oncardid  8820  cardnn  8827  iscard  8839  carduni  8845  nnsdomel  8854  harsdom  8859  pm54.43lem  8863  infxpenlem  8874  infxpidm2  8878  onssnum  8901  alephnbtwn  8932  alephnbtwn2  8933  alephordilem1  8934  alephord2  8937  alephsdom  8947  cardaleph  8950  infenaleph  8952  alephinit  8956  iunfictbso  8975  ficardun2  9063  pwsdompw  9064  infunsdom1  9073  ackbij2  9103  cfflb  9119  sdom2en01  9162  fin23lem22  9187  iunctb  9434  alephadd  9437  alephmul  9438  alephexp1  9439  alephsuc3  9440  canthp1lem2  9513  pwfseqlem4a  9521  pwfseqlem4  9522  pwfseqlem5  9523  gchaleph  9531  gchaleph2  9532  hargch  9533  cygctb  18339  ttac  37920  numinfctb  37990  isnumbasgrplem2  37991  isnumbasabl  37993
  Copyright terms: Public domain W3C validator