Theorem onelon 5786

Description: An element of an ordinal number is an ordinal number. Theorem 2.2(iii) of [BellMachover] p. 469. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
onelon	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Proof of Theorem onelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 5771	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ordelon 5785	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)
3	1, 2	sylan 487	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030  Ord word 5760  Oncon0 5761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-tr 4786  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-ord 5764  df-on 5765

This theorem is referenced by:  oneli  5873  ssorduni  7027  unon  7073  tfindsg2  7103  dfom2  7109  ordom  7116  onfununi  7483  onnseq  7486  dfrecs3  7514  tz7.48-2  7582  tz7.49  7585  oalim  7657  omlim  7658  oelim  7659  oaordi  7671  oalimcl  7685  oaass  7686  omordi  7691  omlimcl  7703  odi  7704  omass  7705  omeulem1  7707  omeulem2  7708  omopth2  7709  oewordri  7717  oeordsuc  7719  oelimcl  7725  oeeui  7727  oaabs2  7770  omabs  7772  omxpenlem  8102  hartogs  8490  card2on  8500  cantnfle  8606  cantnflt  8607  cantnfp1lem2  8614  cantnfp1lem3  8615  cantnfp1  8616  oemapvali  8619  cantnflem1b  8621  cantnflem1c  8622  cantnflem1d  8623  cantnflem1  8624  cantnflem2  8625  cantnflem3  8626  cantnflem4  8627  cantnf  8628  cnfcomlem  8634  cnfcom3lem  8638  cnfcom3  8639  r1ordg  8679  r1val3  8739  tskwe  8814  iscard  8839  cardmin2  8862  infxpenlem  8874  infxpenc2lem2  8881  alephordi  8935  alephord2i  8938  alephle  8949  cardaleph  8950  cfub  9109  cfsmolem  9130  zorn2lem5  9360  zorn2lem6  9361  ttukeylem6  9374  ttukeylem7  9375  ondomon  9423  cardmin  9424  alephval2  9432  alephreg  9442  smobeth  9446  winainflem  9553  inar1  9635  inatsk  9638  dfrdg2  31825  sltval2  31934  sltres  31940  nosepeq  31960  nosupno  31974  nosupres  31978  nosupbnd1lem1  31979  nosupbnd2lem1  31986  nosupbnd2  31987  dfrdg4  32183  ontopbas  32552  onpsstopbas  32554  onint1  32573