Theorem omsinds 7046

Description: Strong (or "total") induction principle over the finite ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsinds.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
omsinds.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
omsinds.3	⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
omsinds	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem omsinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsson 7031	. . 3 ⊢ ω ⊆ On
2		epweon 6945	. . 3 ⊢ E We On
3		wess 5071	. . 3 ⊢ (ω ⊆ On → ( E We On → E We ω))
4	1, 2, 3	mp2 9	. 2 ⊢ E We ω
5		epse 5067	. 2 ⊢ E Se ω
6		omsinds.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
7		omsinds.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8		predep 5675	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Pred( E , ω, 𝑥) = (ω ∩ 𝑥))
9		ordom 7036	. . . . . . 7 ⊢ Ord ω
10		ordtr 5706	. . . . . . 7 ⊢ (Ord ω → Tr ω)
11		trss 4731	. . . . . . 7 ⊢ (Tr ω → (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊆ ω))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → 𝑥 ⊆ ω)
13		sseqin2 3801	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ω ↔ (ω ∩ 𝑥) = 𝑥)
14	12, 13	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (ω ∩ 𝑥) = 𝑥)
15	8, 14	eqtrd 2655	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Pred( E , ω, 𝑥) = 𝑥)
16	15	raleqdv 3137	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓))
17		omsinds.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝜓 → 𝜑))
18	16, 17	sylbid 230	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (∀𝑦 ∈ Pred ( E , ω, 𝑥)𝜓 → 𝜑))
19	4, 5, 6, 7, 18	wfis3 5690	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2908   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  Tr wtr 4722   E cep 4993   We wwe 5042  Predcpred 5648  Ord word 5691  Oncon0 5692  ωcom 7027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877  ax-un 6914

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-om 7028

This theorem is referenced by: (None)