Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsf 30692
 Description: A constructed outer measure is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
omsf ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem omsf
Dummy variables 𝑎 𝑠 𝑡 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12460 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 xrltso 12178 . . . . 5 < Or ℝ*
3 soss 5188 . . . . 5 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
41, 2, 3mp2 9 . . . 4 < Or (0[,]+∞)
54a1i 11 . . 3 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → < Or (0[,]+∞))
6 omscl 30691 . . . . 5 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
763expa 1110 . . . 4 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (0[,]+∞))
8 xrge0infss 29859 . . . 4 (ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ⊆ (0[,]+∞) → ∃𝑡 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ¬ 𝑤 < 𝑡 ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(𝑡 < 𝑤 → ∃𝑠 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))𝑠 < 𝑤)))
97, 8syl 17 . . 3 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ∃𝑡 ∈ (0[,]+∞)(∀𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ¬ 𝑤 < 𝑡 ∧ ∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(𝑡 < 𝑤 → ∃𝑠 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))𝑠 < 𝑤)))
105, 9infcl 8549 . 2 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ) ∈ (0[,]+∞))
11 fex 6632 . . . 4 ((𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑄𝑉) → 𝑅 ∈ V)
1211ancoms 455 . . 3 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → 𝑅 ∈ V)
13 omsval 30689 . . 3 (𝑅 ∈ V → (toOMeas‘𝑅) = (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↦ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < )))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅) = (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↦ inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < )))
15 simpll 742 . . . 4 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝑄𝑉)
16 simplr 744 . . . 4 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
17 simpr 471 . . . . . 6 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
18 fdm 6191 . . . . . . . . 9 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
1918unieqd 4582 . . . . . . . 8 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
2019pweqd 4300 . . . . . . 7 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
2120ad2antlr 698 . . . . . 6 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
2217, 21eleqtrd 2851 . . . . 5 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝑄)
23 elpwi 4305 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑄𝑎 𝑄)
2422, 23syl 17 . . . 4 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → 𝑎 𝑄)
25 omsfval 30690 . . . 4 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑎 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
2615, 16, 24, 25syl3anc 1475 . . 3 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (𝑎 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
2726, 10eqeltrd 2849 . 2 (((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑅) → ((toOMeas‘𝑅)‘𝑎) ∈ (0[,]+∞))
2810, 14, 27fmpt2d 6535 1 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) → (toOMeas‘𝑅):𝒫 dom 𝑅⟶(0[,]+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060  ∃wrex 3061  {crab 3064  Vcvv 3349   ⊆ wss 3721  𝒫 cpw 4295  ∪ cuni 4572   class class class wbr 4784   ↦ cmpt 4861   Or wor 5169  dom cdm 5249  ran crn 5250  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ωcom 7211   ≼ cdom 8106  infcinf 8502  0cc0 10137  +∞cpnf 10272  ℝ*cxr 10274   < clt 10275  [,]cicc 12382  Σ*cesum 30423  toOMeascoms 30687 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-xadd 12151  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-ordt 16368  df-xrs 16369  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-ps 17407  df-tsr 17408  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-ntr 21044  df-nei 21122  df-cn 21251  df-haus 21339  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-tsms 22149  df-esum 30424  df-oms 30688 This theorem is referenced by:  omssubaddlem  30695  omssubadd  30696  omsmeas  30719
 Copyright terms: Public domain W3C validator