Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oms0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oms0 30487
Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
oms.m 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
oms.o (𝜑𝑄𝑉)
oms.r (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
oms.d (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
oms.0 (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
Assertion
Ref Expression
oms0 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Proof of Theorem oms0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oms.m . . 3 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)
21fveq1i 6230 . 2 (𝑀‘∅) = ((toOMeas‘𝑅)‘∅)
3 oms.o . . . 4 (𝜑𝑄𝑉)
4 oms.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
5 0ss 4005 . . . . 5 ∅ ⊆ dom 𝑅
6 fdm 6089 . . . . . . 7 (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄)
74, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄)
87unieqd 4478 . . . . 5 (𝜑 dom 𝑅 = 𝑄)
95, 8syl5sseq 3686 . . . 4 (𝜑 → ∅ ⊆ 𝑄)
10 omsfval 30484 . . . 4 ((𝑄𝑉𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) ∧ ∅ ⊆ 𝑄) → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
113, 4, 9, 10syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ))
12 iccssxr 12294 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
13 xrltso 12012 . . . . . 6 < Or ℝ*
14 soss 5082 . . . . . 6 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ( < Or ℝ* → < Or (0[,]+∞)))
1512, 13, 14mp2 9 . . . . 5 < Or (0[,]+∞)
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < Or (0[,]+∞))
17 0e0iccpnf 12321 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]+∞))
19 oms.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅)
2019snssd 4372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {∅} ⊆ dom 𝑅)
21 p0ex 4883 . . . . . . . . . 10 {∅} ∈ V
2221elpw 4197 . . . . . . . . 9 ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ↔ {∅} ⊆ dom 𝑅)
2320, 22sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → {∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅)
24 0ss 4005 . . . . . . . . 9 ∅ ⊆ {∅}
25 0ex 4823 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
26 snct 29619 . . . . . . . . . 10 (∅ ∈ V → {∅} ≼ ω)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {∅} ≼ ω
2824, 27pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (∅ ⊆ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)
2923, 28jctir 560 . . . . . . 7 (𝜑 → ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
30 unieq 4476 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = {∅} → 𝑧 = {∅})
3130sseq2d 3666 . . . . . . . . 9 (𝑧 = {∅} → (∅ ⊆ 𝑧 ↔ ∅ ⊆ {∅}))
32 breq1 4688 . . . . . . . . 9 (𝑧 = {∅} → (𝑧 ≼ ω ↔ {∅} ≼ ω))
3331, 32anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑧 = {∅} → ((∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω) ↔ (∅ ⊆ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
3433elrab 3396 . . . . . . 7 ({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↔ ({∅} ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∧ (∅ ⊆ {∅} ∧ {∅} ≼ ω)))
3529, 34sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → {∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)})
36 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 = ∅) → 𝑦 = ∅)
3736fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑅𝑦) = (𝑅‘∅))
38 oms.0 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0)
3938adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑅‘∅) = 0)
4037, 39eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 = ∅) → (𝑅𝑦) = 0)
4140, 19, 18esumsn 30255 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅𝑦) = 0)
4241eqcomd 2657 . . . . . 6 (𝜑 → 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅𝑦))
43 esumeq1 30224 . . . . . . . 8 (𝑥 = {∅} → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅𝑦))
4443eqeq2d 2661 . . . . . . 7 (𝑥 = {∅} → (0 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ↔ 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅𝑦)))
4544rspcev 3340 . . . . . 6 (({∅} ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ∧ 0 = Σ*𝑦 ∈ {∅} (𝑅𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
4635, 42, 45syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
47 0xr 10124 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
48 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
4948elrnmpt 5404 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ* → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
5047, 49ax-mp 5 . . . . 5 (0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}0 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
5146, 50sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
52 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
53 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
5453nfrn 5400 . . . . . . . . 9 𝑥ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
5554nfcri 2787 . . . . . . . 8 𝑥 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
5652, 55nfan 1868 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
57 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
58 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
59 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝜑
60 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦{𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}
61 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝑥
6261nfesum1 30230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)
6360, 62nfmpt 4779 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦(𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
6463nfrn 5400 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
6564nfcri 2787 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
6659, 65nfan 1868 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
67 nfv 1883 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}
6866, 67nfan 1868 . . . . . . . . . . 11 𝑦((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)})
6962nfeq2 2809 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)
7068, 69nfan 1868 . . . . . . . . . 10 𝑦(((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
714ad4antr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞))
72 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ⊆ 𝒫 dom 𝑅
73 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)})
7472, 73sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 dom 𝑅)
757pweqd 4196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
7675ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝒫 dom 𝑅 = 𝒫 𝑄)
7774, 76eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑄)
7877elpwid 4203 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑄)
79 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
8078, 79sseldd 3637 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑄)
8171, 80ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8281ex 449 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → (𝑦𝑥 → (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
8370, 82ralrimi 2986 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → ∀𝑦𝑥 (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8461esumcl 30220 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ V ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8558, 83, 84sylancr 696 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦) ∈ (0[,]+∞))
8657, 85eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}) ∧ 𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
87 vex 3234 . . . . . . . . . 10 𝑎 ∈ V
8848elrnmpt 5404 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ V → (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)))
8987, 88ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
9089biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
9190adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → ∃𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)}𝑎 = Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))
9256, 86, 91r19.29af 3105 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → 𝑎 ∈ (0[,]+∞))
93 pnfxr 10130 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
94 iccgelb 12268 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑎 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝑎)
9547, 93, 94mp3an12 1454 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ 𝑎)
9692, 95syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → 0 ≤ 𝑎)
9712, 92sseldi 3634 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → 𝑎 ∈ ℝ*)
98 xrlenlt 10141 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 0))
9998bicomd 213 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
10047, 97, 99sylancr 696 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → (¬ 𝑎 < 0 ↔ 0 ≤ 𝑎))
10196, 100mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦))) → ¬ 𝑎 < 0)
10216, 18, 51, 101infmin 8441 . . 3 (𝜑 → inf(ran (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 dom 𝑅 ∣ (∅ ⊆ 𝑧𝑧 ≼ ω)} ↦ Σ*𝑦𝑥(𝑅𝑦)), (0[,]+∞), < ) = 0)
10311, 102eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → ((toOMeas‘𝑅)‘∅) = 0)
1042, 103syl5eq 2697 1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   cuni 4468   class class class wbr 4685  cmpt 4762   Or wor 5063  dom cdm 5143  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107  cdom 7995  infcinf 8388  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  [,]cicc 12216  Σ*cesum 30217  toOMeascoms 30481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-nei 20950  df-cn 21079  df-haus 21167  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tsms 21977  df-esum 30218  df-oms 30482
This theorem is referenced by:  omsmeas  30513
  Copyright terms: Public domain W3C validator