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Theorem omopth 7723
Description: An ordered pair theorem for finite integers. Analogous to nn0opthi 13040. (Contributed by Scott Fenton, 1-May-2012.)
Assertion
Ref Expression
omopth (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ ω)) → ((((𝐴 +𝑜 𝐵) ·𝑜 (𝐴 +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem omopth
StepHypRef Expression
1 oveq1 6642 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 +𝑜 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵))
21, 1oveq12d 6653 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) ·𝑜 (𝐴 +𝑜 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)))
32oveq1d 6650 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (((𝐴 +𝑜 𝐵) ·𝑜 (𝐴 +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵))
43eqeq1d 2622 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((((𝐴 +𝑜 𝐵) ·𝑜 (𝐴 +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷)))
5 eqeq1 2624 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 = 𝐶 ↔ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶))
65anbi1d 740 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
74, 6bibi12d 335 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (((((𝐴 +𝑜 𝐵) ·𝑜 (𝐴 +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷))))
8 oveq2 6643 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
98, 8oveq12d 6653 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))))
10 id 22 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))
119, 10oveq12d 6653 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
1211eqeq1d 2622 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷)))
13 eqeq1 2624 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (𝐵 = 𝐷 ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))
1413anbi2d 739 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)))
1512, 14bibi12d 335 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))))
16 oveq1 6642 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (𝐶 +𝑜 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷))
1716, 16oveq12d 6653 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) = ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)))
1817oveq1d 6650 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷))
1918eqeq2d 2630 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷)))
20 eqeq2 2631 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ↔ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅)))
2120anbi1d 740 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)))
2219, 21bibi12d 335 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))))
23 oveq2 6643 . . . . . 6 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
2423, 23oveq12d 6653 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)) = ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
25 id 22 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → 𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))
2624, 25oveq12d 6653 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
2726eqeq2d 2630 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
28 eqeq2 2631 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷 ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
2928anbi2d 739 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
3027, 29bibi12d 335 . 2 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))))
31 peano1 7070 . . . 4 ∅ ∈ ω
3231elimel 4141 . . 3 if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) ∈ ω
3331elimel 4141 . . 3 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω
3431elimel 4141 . . 3 if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∈ ω
3531elimel 4141 . . 3 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) ∈ ω
3632, 33, 34, 35omopthi 7722 . 2 ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
377, 15, 22, 30, 36dedth4h 4133 1 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ ω)) → ((((𝐴 +𝑜 𝐵) ·𝑜 (𝐴 +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  c0 3907  ifcif 4077  (class class class)co 6635  ωcom 7050   +𝑜 coa 7542   ·𝑜 comu 7543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-omul 7550
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