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Theorem omopth 7891
Description: An ordered pair theorem for finite integers. Analogous to nn0opthi 13260. (Contributed by Scott Fenton, 1-May-2012.)
Assertion
Ref Expression
omopth (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ ω)) → ((((𝐴 +𝑜 𝐵) ·𝑜 (𝐴 +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))

Proof of Theorem omopth
StepHypRef Expression
1 oveq1 6799 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 +𝑜 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵))
21, 1oveq12d 6810 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 +𝑜 𝐵) ·𝑜 (𝐴 +𝑜 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)))
32oveq1d 6807 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (((𝐴 +𝑜 𝐵) ·𝑜 (𝐴 +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵))
43eqeq1d 2772 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((((𝐴 +𝑜 𝐵) ·𝑜 (𝐴 +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷)))
5 eqeq1 2774 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (𝐴 = 𝐶 ↔ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶))
65anbi1d 607 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
74, 6bibi12d 334 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) → (((((𝐴 +𝑜 𝐵) ·𝑜 (𝐴 +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷))))
8 oveq2 6800 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
98, 8oveq12d 6810 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))))
10 id 22 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))
119, 10oveq12d 6810 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)))
1211eqeq1d 2772 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷)))
13 eqeq1 2774 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (𝐵 = 𝐷 ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))
1413anbi2d 606 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)))
1512, 14bibi12d 334 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶𝐵 = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))))
16 oveq1 6799 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (𝐶 +𝑜 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷))
1716, 16oveq12d 6810 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) = ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)))
1817oveq1d 6807 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷))
1918eqeq2d 2780 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷)))
20 eqeq2 2781 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ↔ if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅)))
2120anbi1d 607 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)))
2219, 21bibi12d 334 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = 𝐶 ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷))))
23 oveq2 6800 . . . . . 6 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) = (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
2423, 23oveq12d 6810 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)) = ((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
25 id 22 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → 𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))
2624, 25oveq12d 6810 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
2726eqeq2d 2780 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
28 eqeq2 2781 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷 ↔ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
2928anbi2d 606 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → ((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))))
3027, 29bibi12d 334 . 2 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) → (((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = 𝐷)) ↔ ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))))
31 peano1 7231 . . . 4 ∅ ∈ ω
3231elimel 4287 . . 3 if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) ∈ ω
3331elimel 4287 . . 3 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) ∈ ω
3431elimel 4287 . . 3 if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∈ ω
3531elimel 4287 . . 3 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅) ∈ ω
3632, 33, 34, 35omopthi 7890 . 2 ((((if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) ·𝑜 (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅))) +𝑜 if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅)) = (((if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ·𝑜 (if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅))) +𝑜 if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)) ↔ (if(𝐴 ∈ ω, 𝐴, ∅) = if(𝐶 ∈ ω, 𝐶, ∅) ∧ if(𝐵 ∈ ω, 𝐵, ∅) = if(𝐷 ∈ ω, 𝐷, ∅)))
377, 15, 22, 30, 36dedth4h 4279 1 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐷 ∈ ω)) → ((((𝐴 +𝑜 𝐵) ·𝑜 (𝐴 +𝑜 𝐵)) +𝑜 𝐵) = (((𝐶 +𝑜 𝐷) ·𝑜 (𝐶 +𝑜 𝐷)) +𝑜 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  c0 4061  ifcif 4223  (class class class)co 6792  ωcom 7211   +𝑜 coa 7709   ·𝑜 comu 7710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-omul 7717
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