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Theorem omndmul 30054
Description: In a commutative ordered monoid, the ordering is compatible with group power. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
omndmul.0 𝐵 = (Base‘𝑀)
omndmul.1 = (le‘𝑀)
omndmul.2 · = (.g𝑀)
omndmul.o (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
omndmul.c (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
omndmul.x (𝜑𝑋𝐵)
omndmul.y (𝜑𝑌𝐵)
omndmul.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
omndmul.l (𝜑𝑋 𝑌)
Assertion
Ref Expression
omndmul (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) (𝑁 · 𝑌))

Proof of Theorem omndmul
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omndmul.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 oveq1 6800 . . . 4 (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
3 oveq1 6800 . . . 4 (𝑚 = 0 → (𝑚 · 𝑌) = (0 · 𝑌))
42, 3breq12d 4799 . . 3 (𝑚 = 0 → ((𝑚 · 𝑋) (𝑚 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑋) (0 · 𝑌)))
5 oveq1 6800 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑛 · 𝑋))
6 oveq1 6800 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑛 · 𝑌))
75, 6breq12d 4799 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 · 𝑋) (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)))
8 oveq1 6800 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑋) = ((𝑛 + 1) · 𝑋))
9 oveq1 6800 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 · 𝑌) = ((𝑛 + 1) · 𝑌))
108, 9breq12d 4799 . . 3 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚 · 𝑋) (𝑚 · 𝑌) ↔ ((𝑛 + 1) · 𝑋) ((𝑛 + 1) · 𝑌)))
11 oveq1 6800 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
12 oveq1 6800 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 · 𝑌) = (𝑁 · 𝑌))
1311, 12breq12d 4799 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 · 𝑋) (𝑚 · 𝑌) ↔ (𝑁 · 𝑋) (𝑁 · 𝑌)))
14 omndmul.o . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ oMnd)
15 omndtos 30045 . . . . . 6 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Toset)
16 tospos 29998 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Toset → 𝑀 ∈ Poset)
1714, 15, 163syl 18 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ Poset)
18 omndmul.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝐵)
19 omndmul.0 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
20 eqid 2771 . . . . . . . 8 (0g𝑀) = (0g𝑀)
21 omndmul.2 . . . . . . . 8 · = (.g𝑀)
2219, 20, 21mulg0 17754 . . . . . . 7 (𝑌𝐵 → (0 · 𝑌) = (0g𝑀))
2318, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0 · 𝑌) = (0g𝑀))
24 omndmnd 30044 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ oMnd → 𝑀 ∈ Mnd)
2519, 20mndidcl 17516 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Mnd → (0g𝑀) ∈ 𝐵)
2614, 24, 253syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑀) ∈ 𝐵)
2723, 26eqeltrd 2850 . . . . 5 (𝜑 → (0 · 𝑌) ∈ 𝐵)
28 omndmul.1 . . . . . 6 = (le‘𝑀)
2919, 28posref 17159 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Poset ∧ (0 · 𝑌) ∈ 𝐵) → (0 · 𝑌) (0 · 𝑌))
3017, 27, 29syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (0 · 𝑌) (0 · 𝑌))
31 omndmul.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
3219, 20, 21mulg0 17754 . . . . . . . 8 (𝑋𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g𝑀))
3332adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (0 · 𝑋) = (0g𝑀))
3422adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (0 · 𝑌) = (0g𝑀))
3533, 34eqtr4d 2808 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (0 · 𝑋) = (0 · 𝑌))
3635breq1d 4796 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((0 · 𝑋) (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) (0 · 𝑌)))
3731, 18, 36syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → ((0 · 𝑋) (0 · 𝑌) ↔ (0 · 𝑌) (0 · 𝑌)))
3830, 37mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (0 · 𝑋) (0 · 𝑌))
39 eqid 2771 . . . . 5 (+g𝑀) = (+g𝑀)
4014ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ oMnd)
4118ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑌𝐵)
4240, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ Mnd)
43 simplr 752 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4431ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋𝐵)
4519, 21mulgnn0cl 17766 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
4642, 43, 44, 45syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) ∈ 𝐵)
4719, 21mulgnn0cl 17766 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑌𝐵) → (𝑛 · 𝑌) ∈ 𝐵)
4842, 43, 41, 47syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑌) ∈ 𝐵)
49 simpr 471 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌))
50 omndmul.l . . . . . 6 (𝜑𝑋 𝑌)
5150ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑋 𝑌)
52 omndmul.c . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
5352ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → 𝑀 ∈ CMnd)
5419, 28, 39, 40, 41, 46, 44, 48, 49, 51, 53omndadd2d 30048 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 · 𝑋)(+g𝑀)𝑋) ((𝑛 · 𝑌)(+g𝑀)𝑌))
5519, 21, 39mulgnn0p1 17760 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g𝑀)𝑋))
5642, 43, 44, 55syl3anc 1476 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) = ((𝑛 · 𝑋)(+g𝑀)𝑋))
5719, 21, 39mulgnn0p1 17760 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑛 ∈ ℕ0𝑌𝐵) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g𝑀)𝑌))
5842, 43, 41, 57syl3anc 1476 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑌) = ((𝑛 · 𝑌)(+g𝑀)𝑌))
5954, 56, 583brtr4d 4818 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑛 · 𝑋) (𝑛 · 𝑌)) → ((𝑛 + 1) · 𝑋) ((𝑛 + 1) · 𝑌))
604, 7, 10, 13, 38, 59nn0indd 11676 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) (𝑁 · 𝑌))
611, 60mpdan 667 1 (𝜑 → (𝑁 · 𝑋) (𝑁 · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  0cn0 11494  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  lecple 16156  0gc0g 16308  Posetcpo 17148  Tosetctos 17241  Mndcmnd 17502  .gcmg 17748  CMndccmn 18400  oMndcomnd 30037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009  df-0g 16310  df-preset 17136  df-poset 17154  df-toset 17242  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mulg 17749  df-cmn 18402  df-omnd 30039
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