Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omlspjN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlspjN 35063
Description: Contraction of a Sasaki projection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlspj.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
omlspj.l = (le‘𝐾)
omlspj.j = (join‘𝐾)
omlspj.m = (meet‘𝐾)
omlspj.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
omlspjN ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ((𝑋 ( 𝑌)) 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem omlspjN
StepHypRef Expression
1 omllat 35044 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1126 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝐾 ∈ Lat)
3 omlop 35043 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OP)
433ad2ant1 1126 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝐾 ∈ OP)
5 simp2r 1241 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌𝐵)
6 omlspj.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 omlspj.o . . . . . . 7 = (oc‘𝐾)
86, 7opoccl 34996 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
94, 5, 8syl2anc 565 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
10 omlspj.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
116, 10latmcom 17282 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑌) 𝑌) = (𝑌 ( 𝑌)))
122, 9, 5, 11syl3anc 1475 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (( 𝑌) 𝑌) = (𝑌 ( 𝑌)))
13 eqid 2770 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
146, 7, 10, 13opnoncon 35010 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ( 𝑌)) = (0.‘𝐾))
154, 5, 14syl2anc 565 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑌 ( 𝑌)) = (0.‘𝐾))
1612, 15eqtrd 2804 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (( 𝑌) 𝑌) = (0.‘𝐾))
1716oveq2d 6808 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (( 𝑌) 𝑌)) = (𝑋 (0.‘𝐾)))
18 simp1 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝐾 ∈ OML)
19 simp2l 1240 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑋𝐵)
20 simp3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑋 𝑌)
21 eqid 2770 . . . . . 6 (cm‘𝐾) = (cm‘𝐾)
226, 21cmtidN 35059 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌𝐵) → 𝑌(cm‘𝐾)𝑌)
2318, 5, 22syl2anc 565 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝑌(cm‘𝐾)𝑌)
246, 7, 21cmt3N 35053 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OML ∧ 𝑌𝐵𝑌𝐵) → (𝑌(cm‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(cm‘𝐾)𝑌))
2518, 5, 5, 24syl3anc 1475 . . . 4 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑌(cm‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(cm‘𝐾)𝑌))
2623, 25mpbid 222 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ( 𝑌)(cm‘𝐾)𝑌)
27 omlspj.l . . . 4 = (le‘𝐾)
28 omlspj.j . . . 4 = (join‘𝐾)
296, 27, 28, 10, 21omlmod1i2N 35062 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋 𝑌 ∧ ( 𝑌)(cm‘𝐾)𝑌)) → (𝑋 (( 𝑌) 𝑌)) = ((𝑋 ( 𝑌)) 𝑌))
3018, 19, 9, 5, 20, 26, 29syl132anc 1493 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (( 𝑌) 𝑌)) = ((𝑋 ( 𝑌)) 𝑌))
31 omlol 35042 . . . 4 (𝐾 ∈ OML → 𝐾 ∈ OL)
32313ad2ant1 1126 . . 3 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → 𝐾 ∈ OL)
336, 28, 13olj01 35027 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 (0.‘𝐾)) = 𝑋)
3432, 19, 33syl2anc 565 . 2 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (0.‘𝐾)) = 𝑋)
3517, 30, 343eqtr3d 2812 1 ((𝐾 ∈ OML ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ((𝑋 ( 𝑌)) 𝑌) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  lecple 16155  occoc 16156  joincjn 17151  meetcmee 17152  0.cp0 17244  Latclat 17252  OPcops 34974  cmccmtN 34975  OLcol 34976  OMLcoml 34977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-preset 17135  df-poset 17153  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-lat 17253  df-oposet 34978  df-cmtN 34979  df-ol 34980  df-oml 34981
This theorem is referenced by:  doca2N  36929  djajN  36940
  Copyright terms: Public domain W3C validator