Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omeiunle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeiunle 41052
 Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunle.nph 𝑛𝜑
omeiunle.ne 𝑛𝐸
omeiunle.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunle.x 𝑋 = dom 𝑂
omeiunle.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
omeiunle.e (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
Assertion
Ref Expression
omeiunle (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunle
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12294 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 omeiunle.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
3 omeiunle.x . . . 4 𝑋 = dom 𝑂
4 omeiunle.nph . . . . . 6 𝑛𝜑
5 omeiunle.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
65ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋)
7 elpwi 4201 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋 → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
98ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛𝑍 → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋))
104, 9ralrimi 2986 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
11 iunss 4593 . . . . 5 ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
1210, 11sylibr 224 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
132, 3, 12omecl 41038 . . 3 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
141, 13sseldi 3634 . 2 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
155ffnd 6084 . . . . 5 (𝜑𝐸 Fn 𝑍)
16 omeiunle.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑁)
17 fvex 6239 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) ∈ V
1816, 17eqeltri 2726 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
1918a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ V)
20 fnex 6522 . . . . 5 ((𝐸 Fn 𝑍𝑍 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
2115, 19, 20syl2anc 694 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ V)
22 rnexg 7140 . . . 4 (𝐸 ∈ V → ran 𝐸 ∈ V)
2321, 22syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝐸 ∈ V)
242, 3omef 41031 . . . 4 (𝜑𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
25 frn 6091 . . . . 5 (𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋 → ran 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑋)
265, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑋)
2724, 26fssresd 6109 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ↾ ran 𝐸):ran 𝐸⟶(0[,]+∞))
2823, 27sge0xrcl 40920 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ∈ ℝ*)
292adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
3029, 3, 8omecl 41038 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
31 eqid 2651 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
324, 30, 31fmptdf 6427 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞))
3319, 32sge0xrcl 40920 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ*)
34 fvex 6239 . . . . . . . 8 (𝐸𝑛) ∈ V
3534rgenw 2953 . . . . . . 7 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V
36 dfiun3g 5410 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
3735, 36ax-mp 5 . . . . . 6 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛))
3837a1i 11 . . . . 5 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
395feqmptd 6288 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = (𝑚𝑍 ↦ (𝐸𝑚)))
40 omeiunle.ne . . . . . . . . . . 11 𝑛𝐸
41 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑚
4240, 41nffv 6236 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐸𝑚)
43 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐸𝑛)
44 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝐸𝑚) = (𝐸𝑛))
4542, 43, 44cbvmpt 4782 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑍 ↦ (𝐸𝑚)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛))
4645a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (𝐸𝑚)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4739, 46eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4847rneqd 5385 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐸 = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4948unieqd 4478 . . . . 5 (𝜑 ran 𝐸 = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
5038, 49eqtr4d 2688 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran 𝐸)
5150fveq2d 6233 . . 3 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (𝑂 ran 𝐸))
52 fnrndomg 9396 . . . . . 6 (𝑍 ∈ V → (𝐸 Fn 𝑍 → ran 𝐸𝑍))
5319, 15, 52sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐸𝑍)
5416uzct 39546 . . . . . 6 𝑍 ≼ ω
5554a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ≼ ω)
56 domtr 8050 . . . . 5 ((ran 𝐸𝑍𝑍 ≼ ω) → ran 𝐸 ≼ ω)
5753, 55, 56syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐸 ≼ ω)
582, 3, 26, 57omeunile 41040 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ran 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
5951, 58eqbrtrd 4707 . 2 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
60 ltweuz 12800 . . . . . 6 < We (ℤ𝑁)
61 weeq2 5132 . . . . . . 7 (𝑍 = (ℤ𝑁) → ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ𝑁)))
6216, 61ax-mp 5 . . . . . 6 ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ𝑁))
6360, 62mpbir 221 . . . . 5 < We 𝑍
6463a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < We 𝑍)
6519, 24, 5, 64sge0resrn 40939 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑂𝐸)))
66 fcompt 6440 . . . . . 6 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂𝐸) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))))
67 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑛𝑂
6867, 42nffv 6236 . . . . . . . 8 𝑛(𝑂‘(𝐸𝑚))
69 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑚(𝑂‘(𝐸𝑛))
7044fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑂‘(𝐸𝑚)) = (𝑂‘(𝐸𝑛)))
7168, 69, 70cbvmpt 4782 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
7271a1i 11 . . . . . 6 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
7366, 72eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂𝐸) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
7424, 5, 73syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐸) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
7574fveq2d 6233 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂𝐸)) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
7665, 75breqtrd 4711 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
7714, 28, 33, 59, 76xrletrd 12031 1 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030  Ⅎwnfc 2780  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191  ∪ cuni 4468  ∪ ciun 4552   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   We wwe 5101  dom cdm 5143  ran crn 5144   ↾ cres 5145   ∘ ccom 5147   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107   ≼ cdom 7995  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℤ≥cuz 11725  [,]cicc 12216  Σ^csumge0 40897  OutMeascome 41024 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-sumge0 40898  df-ome 41025 This theorem is referenced by:  omeiunltfirp  41054  omeiunlempt  41055  caratheodorylem2  41062
 Copyright terms: Public domain W3C validator