Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzsuci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2uzsuci 12961
 Description: The value of 𝐺 (see om2uz0i 12960) at a successor. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
om2uzsuci (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzsuci
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 5951 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → suc 𝑧 = suc 𝐴)
21fveq2d 6357 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘suc 𝑧) = (𝐺‘suc 𝐴))
3 fveq2 6353 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐴))
43oveq1d 6829 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺𝑧) + 1) = ((𝐺𝐴) + 1))
52, 4eqeq12d 2775 . 2 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1) ↔ (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1)))
6 ovex 6842 . . 3 ((𝐺𝑧) + 1) ∈ V
7 om2uz.2 . . . 4 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
8 oveq1 6821 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + 1) = (𝑥 + 1))
9 oveq1 6821 . . . 4 (𝑦 = (𝐺𝑧) → (𝑦 + 1) = ((𝐺𝑧) + 1))
107, 8, 9frsucmpt2 7705 . . 3 ((𝑧 ∈ ω ∧ ((𝐺𝑧) + 1) ∈ V) → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
116, 10mpan2 709 . 2 (𝑧 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑧) = ((𝐺𝑧) + 1))
125, 11vtoclga 3412 1 (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ↦ cmpt 4881   ↾ cres 5268  suc csuc 5886  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ωcom 7231  reccrdg 7675  1c1 10149   + caddc 10151  ℤcz 11589 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676 This theorem is referenced by:  om2uzuzi  12962  om2uzlti  12963  om2uzrani  12965  om2uzrdg  12969  uzrdgsuci  12973  uzrdgxfr  12980  fzennn  12981  axdc4uzlem  12996  hashgadd  13378
 Copyright terms: Public domain W3C validator