Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzlti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2uzlti 12864
 Description: Less-than relation for 𝐺 (see om2uz0i 12861). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
om2uzlti ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzlti
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2792 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → (𝐴𝑧𝐴 ∈ ∅))
2 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑧 = ∅ → (𝐺𝑧) = (𝐺‘∅))
32breq2d 4772 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))
41, 3imbi12d 333 . . . 4 (𝑧 = ∅ → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅))))
54imbi2d 329 . . 3 (𝑧 = ∅ → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))))
6 eleq2 2792 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴𝑦))
7 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑦))
87breq2d 4772 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))
96, 8imbi12d 333 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦))))
109imbi2d 329 . . 3 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))))
11 eleq2 2792 . . . . 5 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴 ∈ suc 𝑦))
12 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺‘suc 𝑦))
1312breq2d 4772 . . . . 5 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
1411, 13imbi12d 333 . . . 4 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
1514imbi2d 329 . . 3 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
16 eleq2 2792 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → (𝐴𝑧𝐴𝐵))
17 fveq2 6304 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐵))
1817breq2d 4772 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
1916, 18imbi12d 333 . . . 4 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))))
2019imbi2d 329 . . 3 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))))
21 noel 4027 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2221pm2.21i 116 . . . 4 (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅))
2322a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))
24 id 22 . . . . . . 7 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))
25 fveq2 6304 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝑦 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))
2625a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 = 𝑦 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦)))
2724, 26orim12d 919 . . . . . 6 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
28 elsuc2g 5906 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 ↔ (𝐴𝑦𝐴 = 𝑦)))
2928bicomd 213 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
3029adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
31 om2uz.1 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ∈ ℤ
32 om2uz.2 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3331, 32om2uzsuci 12862 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝐺𝑦) + 1))
3433breq2d 4772 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → ((𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
3534adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
3631, 32om2uzuzi 12863 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))
3731, 32om2uzuzi 12863 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶))
38 eluzelz 11810 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
39 eluzelz 11810 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
40 zleltp1 11541 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4138, 39, 40syl2an 495 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) ∧ (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶)) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4236, 37, 41syl2an 495 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4336, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
4443zred 11595 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
4537, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
4645zred 11595 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐺𝑦) ∈ ℝ)
47 leloe 10237 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℝ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
4844, 46, 47syl2an 495 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
4935, 42, 483bitr2rd 297 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦)) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
5030, 49imbi12d 333 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
5127, 50syl5ib 234 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
5251expcom 450 . . . 4 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
5352a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦))) → (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
545, 10, 15, 20, 23, 53finds 7209 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝐴 ∈ ω → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))))
5554impcom 445 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304  ∅c0 4023   class class class wbr 4760   ↦ cmpt 4837   ↾ cres 5220  suc csuc 5838  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  ωcom 7182  reccrdg 7625  ℝcr 10048  1c1 10050   + caddc 10052   < clt 10187   ≤ cle 10188  ℤcz 11490  ℤ≥cuz 11800 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801 This theorem is referenced by:  om2uzlt2i  12865  om2uzf1oi  12867
 Copyright terms: Public domain W3C validator