Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzlt2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om2uzlt2i 12936
 Description: The mapping 𝐺 (see om2uz0i 12932) preserves order. (Contributed by NM, 4-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
om2uzlt2i ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzlt2i
StepHypRef Expression
1 om2uz.1 . . 3 𝐶 ∈ ℤ
2 om2uz.2 . . 3 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
31, 2om2uzlti 12935 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
41, 2om2uzlti 12935 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵𝐴 → (𝐺𝐵) < (𝐺𝐴)))
5 fveq2 6344 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐴 → (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴))
65a1i 11 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 = 𝐴 → (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴)))
74, 6orim12d 919 . . . 4 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) → ((𝐺𝐵) < (𝐺𝐴) ∨ (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴))))
87ancoms 468 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) → ((𝐺𝐵) < (𝐺𝐴) ∨ (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴))))
9 nnon 7228 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
10 nnon 7228 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
11 onsseleq 5918 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴𝐵 = 𝐴)))
12 ontri1 5910 . . . . 5 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
1311, 12bitr3d 270 . . . 4 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴𝐵))
149, 10, 13syl2anr 496 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴𝐵))
151, 2om2uzuzi 12934 . . . . 5 (𝐵 ∈ ω → (𝐺𝐵) ∈ (ℤ𝐶))
16 eluzelre 11882 . . . . 5 ((𝐺𝐵) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
181, 2om2uzuzi 12934 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))
19 eluzelre 11882 . . . . 5 ((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
21 leloe 10308 . . . . 5 (((𝐺𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺𝐵) ≤ (𝐺𝐴) ↔ ((𝐺𝐵) < (𝐺𝐴) ∨ (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴))))
22 lenlt 10300 . . . . 5 (((𝐺𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺𝐵) ≤ (𝐺𝐴) ↔ ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
2321, 22bitr3d 270 . . . 4 (((𝐺𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → (((𝐺𝐵) < (𝐺𝐴) ∨ (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴)) ↔ ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
2417, 20, 23syl2anr 496 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝐺𝐵) < (𝐺𝐴) ∨ (𝐺𝐵) = (𝐺𝐴)) ↔ ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
258, 14, 243imtr3d 282 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
263, 25impcon4bid 217 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  Vcvv 3332   ⊆ wss 3707   class class class wbr 4796   ↦ cmpt 4873   ↾ cres 5260  Oncon0 5876  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ωcom 7222  reccrdg 7666  ℝcr 10119  1c1 10121   + caddc 10123   < clt 10258   ≤ cle 10259  ℤcz 11561  ℤ≥cuz 11871 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872 This theorem is referenced by:  om2uzisoi  12939  unbenlem  15806
 Copyright terms: Public domain W3C validator