Theorem om2uzlt2i 12936

Description: The mapping 𝐺 (see om2uz0i 12932) preserves order. (Contributed by NM, 4-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
om2uzlt2i	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem om2uzlt2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
2		om2uz.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3	1, 2	om2uzlti 12935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
4	1, 2	om2uzlti 12935	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴)))
5		fveq2 6344	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐵 = 𝐴 → (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)))
7	4, 6	orim12d 919	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) → ((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
8	7	ancoms 468	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) → ((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
9		nnon 7228	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
10		nnon 7228	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
11		onsseleq 5918	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)))
12		ontri1 5910	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
13	11, 12	bitr3d 270	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
14	9, 10, 13	syl2anr 496	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
15	1, 2	om2uzuzi 12934	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐺‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
16		eluzelre 11882	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
18	1, 2	om2uzuzi 12934	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
19		eluzelre 11882	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
21		leloe 10308	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐴) ↔ ((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴))))
22		lenlt 10300	. . . . 5 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐵) ≤ (𝐺‘𝐴) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
23	21, 22	bitr3d 270	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
24	17, 20, 23	syl2anr 496	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (((𝐺‘𝐵) < (𝐺‘𝐴) ∨ (𝐺‘𝐵) = (𝐺‘𝐴)) ↔ ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
25	8, 14, 24	3imtr3d 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))
26	3, 25	impcon4bid 217	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐺‘𝐴) < (𝐺‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  Vcvv 3332   ⊆ wss 3707   class class class wbr 4796   ↦ cmpt 4873   ↾ cres 5260  Oncon0 5876  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ωcom 7222  reccrdg 7666  ℝcr 10119  1c1 10121   + caddc 10123   < clt 10258   ≤ cle 10259  ℤcz 11561  ℤ_≥cuz 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872

This theorem is referenced by:  om2uzisoi  12939  unbenlem  15806