MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om0 7762
Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
om0 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·𝑜 ∅) = ∅)

Proof of Theorem om0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elon 5935 . . 3 ∅ ∈ On
2 omv 7757 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 ·𝑜 ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴)), ∅)‘∅))
31, 2mpan2 709 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·𝑜 ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴)), ∅)‘∅))
4 0ex 4938 . . 3 ∅ ∈ V
54rdg0 7682 . 2 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +𝑜 𝐴)), ∅)‘∅) = ∅
63, 5syl6eq 2806 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·𝑜 ∅) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1628  wcel 2135  Vcvv 3336  c0 4054  cmpt 4877  Oncon0 5880  cfv 6045  (class class class)co 6809  reccrdg 7670   +𝑜 coa 7722   ·𝑜 comu 7723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-omul 7730
This theorem is referenced by:  om0x  7764  oesuclem  7770  omcl  7781  om1  7787  omwordri  7817  om00  7820  odi  7824  omass  7825  oen0  7831  oeoa  7842  oeoelem  7843  oeeui  7847  nnm0  7850  cantnfle  8737  cantnfp1  8747
  Copyright terms: Public domain W3C validator