Theorem olm01 35045

Description: Meet with lattice zero is zero. (chm0 28681 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
olm0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm0.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
olm0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olm01	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 0 ) = 0 )

Proof of Theorem olm01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olm0.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2761	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		ollat 35022	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
4	3	adantr 472	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		olop 35023	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
7	6	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
8		olm0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
9	1, 8	op0cl 34993	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
11		olm0.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
12	1, 11	latmcl 17274	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 0 ) ∈ 𝐵)
13	4, 5, 10, 12	syl3anc 1477	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 0 ) ∈ 𝐵)
14	1, 2, 11	latmle2 17299	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 0 )(le‘𝐾) 0 )
15	4, 5, 10, 14	syl3anc 1477	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 0 )(le‘𝐾) 0 )
16	1, 2, 8	op0le 34995	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
17	6, 16	sylan 489	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
18	1, 2	latref 17275	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾) 0 )
19	4, 10, 18	syl2anc 696	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾) 0 )
20	1, 2, 11	latlem12 17300	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵)) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 (le‘𝐾) 0 ) ↔ 0 (le‘𝐾)(𝑋 ∧ 0 )))
21	4, 10, 5, 10, 20	syl13anc 1479	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 (le‘𝐾) 0 ) ↔ 0 (le‘𝐾)(𝑋 ∧ 0 )))
22	17, 19, 21	mpbi2and 994	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)(𝑋 ∧ 0 ))
23	1, 2, 4, 13, 10, 15, 22	latasymd 17279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   class class class wbr 4805  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  lecple 16171  meetcmee 17167  0.cp0 17259  Latclat 17267  OPcops 34981  OLcol 34983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-preset 17150  df-poset 17168  df-lub 17196  df-glb 17197  df-join 17198  df-meet 17199  df-p0 17261  df-lat 17268  df-oposet 34985  df-ol 34987

This theorem is referenced by:  olm02  35046  omlfh1N  35067