Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olj02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olj02 35035
 Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olj0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j = (join‘𝐾)
olj0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
olj02 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem olj02
StepHypRef Expression
1 ollat 35022 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 466 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3 olop 35023 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
4 olj0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 olj0.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
64, 5op0cl 34993 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
73, 6syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 0𝐵)
87adantr 466 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
9 simpr 471 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
10 olj0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
114, 10latjcom 17267 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = (𝑋 0 ))
122, 8, 9, 11syl3anc 1476 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = (𝑋 0 ))
134, 10, 5olj01 35034 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)
1412, 13eqtrd 2805 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  joincjn 17152  0.cp0 17245  Latclat 17253  OPcops 34981  OLcol 34983 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-preset 17136  df-poset 17154  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-lat 17254  df-oposet 34985  df-ol 34987 This theorem is referenced by:  atle  35244  athgt  35264  pmapjat1  35661  atmod1i1m  35666  llnexchb2lem  35676  lhp2at0  35840  lhpelim  35845  4atex2-0aOLDN  35886  cdleme2  36037  cdleme15b  36084  cdleme22cN  36151  cdleme22d  36152  cdleme35d  36261  cdlemeg46frv  36334  cdlemg2fv2  36409  cdlemg2m  36413  cdlemg10bALTN  36445  cdlemh2  36625  cdlemh  36626  cdlemk9  36648  cdlemk9bN  36649  dia2dimlem1  36874
 Copyright terms: Public domain W3C validator