Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olj01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olj01 35027
Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (chj0 28690 analog.) (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
olj0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j = (join‘𝐾)
olj0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
olj01 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olj01
StepHypRef Expression
1 olop 35016 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2 olj0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 olj0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
42, 3op0cl 34986 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
51, 4syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ OL → 0𝐵)
65adantr 466 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
7 eqid 2770 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 ollat 35015 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
983ad2ant1 1126 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
10 olj0.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
112, 10latjcl 17258 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ) ∈ 𝐵)
128, 11syl3an1 1165 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ) ∈ 𝐵)
13 simp2 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 𝑋𝐵)
142, 7latref 17260 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
158, 14sylan 561 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
16153adant3 1125 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
172, 7, 3op0le 34988 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
181, 17sylan 561 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
19183adant3 1125 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
20 simp3 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 0𝐵)
212, 7, 10latjle12 17269 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵0𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 0 )(le‘𝐾)𝑋))
229, 13, 20, 13, 21syl13anc 1477 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 0 )(le‘𝐾)𝑋))
2316, 19, 22mpbi2and 683 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 )(le‘𝐾)𝑋)
242, 7, 10latlej1 17267 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 0 ))
258, 24syl3an1 1165 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 0 ))
262, 7, 9, 12, 13, 23, 25latasymd 17264 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)
276, 26mpd3an3 1572 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  lecple 16155  joincjn 17151  0.cp0 17244  Latclat 17252  OPcops 34974  OLcol 34976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-preset 17135  df-poset 17153  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-lat 17253  df-oposet 34978  df-ol 34980
This theorem is referenced by:  olj02  35028  olm11  35029  omllaw3  35047  omlspjN  35063  2at0mat0  35326  lhp2at0nle  35836  lhple  35843  cdlemc6  35998  cdleme3c  36032  cdleme7e  36049  cdlemednpq  36101  cdlemefrs29pre00  36197  cdlemefrs29bpre0  36198  cdlemefrs29cpre1  36200  cdleme32fva  36239  cdleme42ke  36287  cdlemg12e  36449  cdlemg31d  36502  trljco  36542  cdlemkid2  36726  dihvalcqat  37042  dihmeetlem7N  37113  dihjatc1  37114  djh01  37215
  Copyright terms: Public domain W3C validator