Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmm3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oldmm3N 35028
 Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm3 28726 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
oldmm1.j = (join‘𝐾)
oldmm1.m = (meet‘𝐾)
oldmm1.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
oldmm3N ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 ( 𝑌))) = (( 𝑋) 𝑌))

Proof of Theorem oldmm3N
StepHypRef Expression
1 olop 35023 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
213ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
3 simp3 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
4 oldmm1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 oldmm1.o . . . . 5 = (oc‘𝐾)
64, 5opoccl 35003 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
72, 3, 6syl2anc 573 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
8 oldmm1.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 oldmm1.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
104, 8, 9, 5oldmm1 35026 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵 ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵) → ( ‘(𝑋 ( 𝑌))) = (( 𝑋) ( ‘( 𝑌))))
117, 10syld3an3 1515 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 ( 𝑌))) = (( 𝑋) ( ‘( 𝑌))))
124, 5opococ 35004 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
132, 3, 12syl2anc 573 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
1413oveq2d 6812 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑋) ( ‘( 𝑌))) = (( 𝑋) 𝑌))
1511, 14eqtrd 2805 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( ‘(𝑋 ( 𝑌))) = (( 𝑋) 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  occoc 16157  joincjn 17152  meetcmee 17153  OPcops 34981  OLcol 34983 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-preset 17136  df-poset 17154  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-lat 17254  df-oposet 34985  df-ol 34987 This theorem is referenced by:  cmtbr3N  35063  lhprelat3N  35849
 Copyright terms: Public domain W3C validator