MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oion Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oion 8482
Description: The order type of the well-order 𝑅 on 𝐴 is an ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oion (𝐴𝑉 → dom 𝐹 ∈ On)

Proof of Theorem oion
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . 3 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
21oicl 8475 . 2 Ord dom 𝐹
31oiexg 8481 . . 3 (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)
4 dmexg 7139 . . 3 (𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
5 elong 5769 . . 3 (dom 𝐹 ∈ V → (dom 𝐹 ∈ On ↔ Ord dom 𝐹))
63, 4, 53syl 18 . 2 (𝐴𝑉 → (dom 𝐹 ∈ On ↔ Ord dom 𝐹))
72, 6mpbiri 248 1 (𝐴𝑉 → dom 𝐹 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  dom cdm 5143  Ord word 5760  Oncon0 5761  OrdIsocoi 8455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-oi 8456
This theorem is referenced by:  hartogslem1  8488  wofib  8491  cantnfcl  8602  cantnflt2  8608  cantnflem1  8624  wemapwe  8632  cnfcom2  8637  cnfcom3lem  8638  cnfcom3  8639  finnisoeu  8974  dfac12lem2  9004  cofsmo  9129  pwfseqlem5  9523  fz1isolem  13283
  Copyright terms: Public domain W3C validator