Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oiid 8487
 Description: The order type of an ordinal under the ∈ order is itself, and the order isomorphism is the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
oiid (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem oiid
StepHypRef Expression
1 ordwe 5774 . 2 (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
2 epse 5126 . . 3 E Se 𝐴
32a1i 11 . 2 (Ord 𝐴 → E Se 𝐴)
4 eqid 2651 . . . . . 6 OrdIso( E , 𝐴) = OrdIso( E , 𝐴)
54oiiso2 8477 . . . . 5 (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴) → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
61, 2, 5sylancl 695 . . . 4 (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)))
7 ordsson 7031 . . . . . . 7 (Ord 𝐴𝐴 ⊆ On)
84oismo 8486 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ On → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
97, 8syl 17 . . . . . 6 (Ord 𝐴 → (Smo OrdIso( E , 𝐴) ∧ ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴))
109simprd 478 . . . . 5 (Ord 𝐴 → ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
11 isoeq5 6611 . . . . 5 (ran OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
1210, 11syl 17 . . . 4 (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), ran OrdIso( E , 𝐴)) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴)))
136, 12mpbid 222 . . 3 (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴))
144oicl 8475 . . . . . 6 Ord dom OrdIso( E , 𝐴)
1514a1i 11 . . . . 5 (Ord 𝐴 → Ord dom OrdIso( E , 𝐴))
16 id 22 . . . . 5 (Ord 𝐴 → Ord 𝐴)
17 ordiso2 8461 . . . . 5 ((OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ∧ Ord dom OrdIso( E , 𝐴) ∧ Ord 𝐴) → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
1813, 15, 16, 17syl3anc 1366 . . . 4 (Ord 𝐴 → dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴)
19 isoeq4 6610 . . . 4 (dom OrdIso( E , 𝐴) = 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
2018, 19syl 17 . . 3 (Ord 𝐴 → (OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (dom OrdIso( E , 𝐴), 𝐴) ↔ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)))
2113, 20mpbid 222 . 2 (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴))
22 weniso 6644 . 2 (( E We 𝐴 ∧ E Se 𝐴 ∧ OrdIso( E , 𝐴) Isom E , E (𝐴, 𝐴)) → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
231, 3, 21, 22syl3anc 1366 1 (Ord 𝐴 → OrdIso( E , 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ⊆ wss 3607   I cid 5052   E cep 5057   Se wse 5100   We wwe 5101  dom cdm 5143  ran crn 5144   ↾ cres 5145  Ord word 5760  Oncon0 5761   Isom wiso 5927  Smo wsmo 7487  OrdIsocoi 8455 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-wrecs 7452  df-smo 7488  df-recs 7513  df-oi 8456 This theorem is referenced by:  hsmexlem5  9290
 Copyright terms: Public domain W3C validator