Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpinvlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ogrpinvlt 30064
Description: In an ordered group, the ordering is compatible with group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpinvlt.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpinvlt.1 < = (lt‘𝐺)
ogrpinvlt.2 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
ogrpinvlt (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼𝑌) < (𝐼𝑋)))

Proof of Theorem ogrpinvlt
StepHypRef Expression
1 simp1l 1239 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ oGrp)
2 simp2 1131 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
3 simp3 1132 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
4 ogrpgrp 30043 . . . . . 6 (𝐺 ∈ oGrp → 𝐺 ∈ Grp)
51, 4syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
6 ogrpinvlt.0 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 ogrpinvlt.2 . . . . . 6 𝐼 = (invg𝐺)
86, 7grpinvcl 17675 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ∈ 𝐵)
95, 3, 8syl2anc 573 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐼𝑌) ∈ 𝐵)
10 ogrpinvlt.1 . . . . 5 < = (lt‘𝐺)
11 eqid 2771 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
126, 10, 11ogrpaddltbi 30059 . . . 4 ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝐼𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) < (𝑌(+g𝐺)(𝐼𝑌))))
131, 2, 3, 9, 12syl13anc 1478 . . 3 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) < (𝑌(+g𝐺)(𝐼𝑌))))
14 eqid 2771 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
156, 11, 14, 7grprinv 17677 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = (0g𝐺))
165, 3, 15syl2anc 573 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = (0g𝐺))
1716breq2d 4798 . . 3 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) < (𝑌(+g𝐺)(𝐼𝑌)) ↔ (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) < (0g𝐺)))
18 simp1r 1240 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
196, 11grpcl 17638 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) ∈ 𝐵)
205, 2, 9, 19syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) ∈ 𝐵)
216, 14grpidcl 17658 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
221, 4, 213syl 18 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
236, 7grpinvcl 17675 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
245, 2, 23syl2anc 573 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
256, 10, 11, 1, 18, 20, 22, 24ogrpaddltrbid 30061 . . 3 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌)) < (0g𝐺) ↔ ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))) < ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(0g𝐺))))
2613, 17, 253bitrd 294 . 2 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))) < ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(0g𝐺))))
276, 11, 14, 7grplinv 17676 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)𝑋) = (0g𝐺))
285, 2, 27syl2anc 573 . . . . 5 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)𝑋) = (0g𝐺))
2928oveq1d 6808 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝐼𝑋)(+g𝐺)𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = ((0g𝐺)(+g𝐺)(𝐼𝑌)))
306, 11grpass 17639 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐼𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝐵 ∧ (𝐼𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐼𝑋)(+g𝐺)𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))))
315, 24, 2, 9, 30syl13anc 1478 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝐼𝑋)(+g𝐺)𝑋)(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))))
326, 11, 14grplid 17660 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼𝑌) ∈ 𝐵) → ((0g𝐺)(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = (𝐼𝑌))
335, 9, 32syl2anc 573 . . . 4 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((0g𝐺)(+g𝐺)(𝐼𝑌)) = (𝐼𝑌))
3429, 31, 333eqtr3d 2813 . . 3 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))) = (𝐼𝑌))
356, 11, 14grprid 17661 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(0g𝐺)) = (𝐼𝑋))
365, 24, 35syl2anc 573 . . 3 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(0g𝐺)) = (𝐼𝑋))
3734, 36breq12d 4799 . 2 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝐼𝑋)(+g𝐺)(𝑋(+g𝐺)(𝐼𝑌))) < ((𝐼𝑋)(+g𝐺)(0g𝐺)) ↔ (𝐼𝑌) < (𝐼𝑋)))
3826, 37bitrd 268 1 (((𝐺 ∈ oGrp ∧ (oppg𝐺) ∈ oGrp) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝐼𝑌) < (𝐼𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  ltcplt 17149  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  oppgcoppg 17982  oGrpcogrp 30038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-dec 11696  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-ple 16169  df-0g 16310  df-plt 17166  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-oppg 17983  df-omnd 30039  df-ogrp 30040
This theorem is referenced by:  archirngz  30083  archiabllem2c  30089
  Copyright terms: Public domain W3C validator