Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ogrpaddltrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ogrpaddltrd 30029
Description: In a right ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ogrpaddlt.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1 < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2 + = (+g𝐺)
ogrpaddltrd.1 (𝜑𝐺𝑉)
ogrpaddltrd.2 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
ogrpaddltrd.3 (𝜑𝑋𝐵)
ogrpaddltrd.4 (𝜑𝑌𝐵)
ogrpaddltrd.5 (𝜑𝑍𝐵)
ogrpaddltrd.6 (𝜑𝑋 < 𝑌)
Assertion
Ref Expression
ogrpaddltrd (𝜑 → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))

Proof of Theorem ogrpaddltrd
StepHypRef Expression
1 ogrpaddltrd.2 . . . 4 (𝜑 → (oppg𝐺) ∈ oGrp)
2 ogrpaddltrd.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3 ogrpaddltrd.4 . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
4 ogrpaddltrd.5 . . . 4 (𝜑𝑍𝐵)
5 ogrpaddltrd.6 . . . . 5 (𝜑𝑋 < 𝑌)
6 ogrpaddltrd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝑉)
7 eqid 2760 . . . . . . . 8 (oppg𝐺) = (oppg𝐺)
8 ogrpaddlt.1 . . . . . . . 8 < = (lt‘𝐺)
97, 8oppglt 29963 . . . . . . 7 (𝐺𝑉< = (lt‘(oppg𝐺)))
106, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑< = (lt‘(oppg𝐺)))
1110breqd 4815 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑋(lt‘(oppg𝐺))𝑌))
125, 11mpbid 222 . . . 4 (𝜑𝑋(lt‘(oppg𝐺))𝑌)
13 ogrpaddlt.0 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
147, 13oppgbas 17981 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(oppg𝐺))
15 eqid 2760 . . . . 5 (lt‘(oppg𝐺)) = (lt‘(oppg𝐺))
16 eqid 2760 . . . . 5 (+g‘(oppg𝐺)) = (+g‘(oppg𝐺))
1714, 15, 16ogrpaddlt 30027 . . . 4 (((oppg𝐺) ∈ oGrp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ 𝑋(lt‘(oppg𝐺))𝑌) → (𝑋(+g‘(oppg𝐺))𝑍)(lt‘(oppg𝐺))(𝑌(+g‘(oppg𝐺))𝑍))
181, 2, 3, 4, 12, 17syl131anc 1490 . . 3 (𝜑 → (𝑋(+g‘(oppg𝐺))𝑍)(lt‘(oppg𝐺))(𝑌(+g‘(oppg𝐺))𝑍))
19 ogrpaddlt.2 . . . 4 + = (+g𝐺)
2019, 7, 16oppgplus 17979 . . 3 (𝑋(+g‘(oppg𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑋)
2119, 7, 16oppgplus 17979 . . 3 (𝑌(+g‘(oppg𝐺))𝑍) = (𝑍 + 𝑌)
2218, 20, 213brtr3g 4837 . 2 (𝜑 → (𝑍 + 𝑋)(lt‘(oppg𝐺))(𝑍 + 𝑌))
2310breqd 4815 . 2 (𝜑 → ((𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌) ↔ (𝑍 + 𝑋)(lt‘(oppg𝐺))(𝑍 + 𝑌)))
2422, 23mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑍 + 𝑋) < (𝑍 + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  ltcplt 17142  oppgcoppg 17975  oGrpcogrp 30007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-dec 11686  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-ple 16163  df-0g 16304  df-plt 17159  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-oppg 17976  df-omnd 30008  df-ogrp 30009
This theorem is referenced by:  ogrpaddltrbid  30030  archiabllem2a  30057  archiabllem2c  30058
  Copyright terms: Public domain W3C validator