MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofsubeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofsubeq0 11209
Description: Function analogue of subeq0 10499. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ofsubeq0 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹𝑓𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))

Proof of Theorem ofsubeq0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1132 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 ffn 6206 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
4 simp3 1133 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
5 ffn 6206 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴)
7 simp1 1131 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴𝑉)
8 inidm 3965 . . . . . 6 (𝐴𝐴) = 𝐴
9 eqidd 2761 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
10 eqidd 2761 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
113, 6, 7, 7, 8, 9, 10ofval 7071 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
12 c0ex 10226 . . . . . . 7 0 ∈ V
1312fvconst2 6633 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
1413adantl 473 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {0})‘𝑥) = 0)
1511, 14eqeq12d 2775 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = 0))
161ffvelrnda 6522 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
174ffvelrnda 6522 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
1816, 17subeq0ad 10594 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
1915, 18bitrd 268 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥) ↔ (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
2019ralbidva 3123 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
213, 6, 7, 7, 8offn 7073 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹𝑓𝐺) Fn 𝐴)
2212fconst 6252 . . . 4 (𝐴 × {0}):𝐴⟶{0}
23 ffn 6206 . . . 4 ((𝐴 × {0}):𝐴⟶{0} → (𝐴 × {0}) Fn 𝐴)
2422, 23ax-mp 5 . . 3 (𝐴 × {0}) Fn 𝐴
25 eqfnfv 6474 . . 3 (((𝐹𝑓𝐺) Fn 𝐴 ∧ (𝐴 × {0}) Fn 𝐴) → ((𝐹𝑓𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥)))
2621, 24, 25sylancl 697 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹𝑓𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐹𝑓𝐺)‘𝑥) = ((𝐴 × {0})‘𝑥)))
27 eqfnfv 6474 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐺 Fn 𝐴) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
283, 6, 27syl2anc 696 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
2920, 26, 283bitr4d 300 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹𝑓𝐺) = (𝐴 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {csn 4321   × cxp 5264   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑓 cof 7060  cc 10126  0cc0 10128  cmin 10458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460
This theorem is referenced by:  psrridm  19606  dv11cn  23963  coeeulem  24179  plydiveu  24252  facth  24260  quotcan  24263  plyexmo  24267  mpaaeu  38222
  Copyright terms: Public domain W3C validator