MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofmulrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofmulrt 24207
Description: The set of roots of a product is the union of the roots of the terms. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ofmulrt ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹𝑓 · 𝐺) “ {0}) = ((𝐹 “ {0}) ∪ (𝐺 “ {0})))

Proof of Theorem ofmulrt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1129 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 ffn 6194 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 Fn 𝐴)
4 simp3 1130 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺:𝐴⟶ℂ)
5 ffn 6194 . . . . . . . 8 (𝐺:𝐴⟶ℂ → 𝐺 Fn 𝐴)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐺 Fn 𝐴)
7 simp1 1128 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → 𝐴𝑉)
8 inidm 3953 . . . . . . 7 (𝐴𝐴) = 𝐴
9 eqidd 2749 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
10 eqidd 2749 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
113, 6, 7, 7, 8, 9, 10ofval 7059 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
1211eqeq1d 2750 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) = 0))
131ffvelrnda 6510 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
144ffvelrnda 6510 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
1513, 14mul0ord 10840 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) = 0 ↔ ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐺𝑥) = 0)))
1612, 15bitrd 268 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐺𝑥) = 0)))
1716pm5.32da 676 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐺𝑥) = 0))))
183, 6, 7, 7, 8offn 7061 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝐹𝑓 · 𝐺) Fn 𝐴)
19 fniniseg 6489 . . . 4 ((𝐹𝑓 · 𝐺) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑓 · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑓 · 𝐺) “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑓 · 𝐺)‘𝑥) = 0)))
21 fniniseg 6489 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)))
223, 21syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0)))
23 fniniseg 6489 . . . . . 6 (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) = 0)))
246, 23syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐺 “ {0}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) = 0)))
2522, 24orbi12d 748 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (𝐺 “ {0})) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∨ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) = 0))))
26 elun 3884 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐹 “ {0}) ∪ (𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹 “ {0}) ∨ 𝑥 ∈ (𝐺 “ {0})))
27 andi 947 . . . 4 ((𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐺𝑥) = 0)) ↔ ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) = 0) ∨ (𝑥𝐴 ∧ (𝐺𝑥) = 0)))
2825, 26, 273bitr4g 303 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹 “ {0}) ∪ (𝐺 “ {0})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∨ (𝐺𝑥) = 0))))
2917, 20, 283bitr4d 300 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑓 · 𝐺) “ {0}) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ {0}) ∪ (𝐺 “ {0}))))
3029eqrdv 2746 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹𝑓 · 𝐺) “ {0}) = ((𝐹 “ {0}) ∪ (𝐺 “ {0})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  cun 3701  {csn 4309  ccnv 5253  cima 5257   Fn wfn 6032  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  𝑓 cof 7048  cc 10097  0cc0 10099   · cmul 10104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432
This theorem is referenced by:  plyrem  24230  fta1lem  24232  vieta1lem2  24236
  Copyright terms: Public domain W3C validator