Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofldchr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofldchr 29942
Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ofldchr (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)

Proof of Theorem ofldchr
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 (od‘𝐹) = (od‘𝐹)
2 eqid 2651 . . 3 (1r𝐹) = (1r𝐹)
3 eqid 2651 . . 3 (chr‘𝐹) = (chr‘𝐹)
41, 2, 3chrval 19921 . 2 ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = (chr‘𝐹)
5 ofldfld 29938 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Field)
6 isfld 18804 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
76simplbi 475 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ DivRing)
8 drngring 18802 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
95, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Ring)
10 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
1110, 2ringidcl 18614 . . . 4 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
12 eqid 2651 . . . . 5 (.g𝐹) = (.g𝐹)
13 eqid 2651 . . . . 5 (0g𝐹) = (0g𝐹)
14 eqid 2651 . . . . 5 {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}
1510, 12, 13, 1, 14odval 17999 . . . 4 ((1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}, ℝ, < )))
169, 11, 153syl 18 . . 3 (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}, ℝ, < )))
17 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = (1(.g𝐹)(1r𝐹)))
1817breq2d 4697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g𝐹)(1r𝐹))))
1918imbi2d 329 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g𝐹)(1r𝐹)))))
20 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
2120breq2d 4697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
2221imbi2d 329 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))))
23 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
2423breq2d 4697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹))))
2524imbi2d 329 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))))
26 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) = (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))
2726breq2d 4697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹)) ↔ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
2827imbi2d 329 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑛(.g𝐹)(1r𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))))
29 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (lt‘𝐹) = (lt‘𝐹)
3013, 2, 29ofldlt1 29941 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1r𝐹))
319, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ oField → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
3210, 12mulg1 17595 . . . . . . . . . . . . 13 ((1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (1(.g𝐹)(1r𝐹)) = (1r𝐹))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ oField → (1(.g𝐹)(1r𝐹)) = (1r𝐹))
3430, 33breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1(.g𝐹)(1r𝐹)))
35 ofldtos 29939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Toset)
36 tospos 29786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Toset → 𝐹 ∈ Poset)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Poset)
3837ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ Poset)
39 ringgrp 18598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
409, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ Grp)
4140ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ Grp)
4210, 13grpidcl 17497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Grp → (0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
44 grpmnd 17476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Grp → 𝐹 ∈ Mnd)
45 mndmgm 17347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Mnd → 𝐹 ∈ Mgm)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Grp → 𝐹 ∈ Mgm)
4741, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ Mgm)
48 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝑚 ∈ ℕ)
4931ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
5010, 12mulgnncl 17603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ 𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5147, 48, 49, 50syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5248peano2nnd 11075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
5310, 12mulgnncl 17603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Mgm ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5447, 52, 49, 53syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))
5543, 51, 543jca 1261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)))
56 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
57 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ oField)
58 isofld 29930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ oField ↔ (𝐹 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ oRing))
5958simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oField → 𝐹 ∈ oRing)
60 orngogrp 29929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ oRing → 𝐹 ∈ oGrp)
6157, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ oGrp)
6230ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1r𝐹))
63 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+g𝐹) = (+g𝐹)
6410, 29, 63ogrpaddlt 29846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ oGrp ∧ ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(1r𝐹)) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))(lt‘𝐹)((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
6561, 43, 49, 51, 62, 64syl131anc 1379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))(lt‘𝐹)((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
6610, 63, 13grplid 17499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹)) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) = (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
6741, 51, 66syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) = (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)))
6867eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((0g𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
6910, 12, 63mulgnnp1 17596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)))
7048, 49, 69syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)))
71 ringcmn 18627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ CMnd)
7257, 9, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → 𝐹 ∈ CMnd)
7310, 63cmncom 18255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)) = ((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
7472, 51, 49, 73syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(+g𝐹)(1r𝐹)) = ((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
7570, 74eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) = ((1r𝐹)(+g𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))))
7665, 68, 753brtr4d 4717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
7710, 29plttr 17017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) → (((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹))))
7877imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ Poset ∧ ((0g𝐹) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹) ∧ ((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ (Base‘𝐹))) ∧ ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) ∧ (𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
7938, 55, 56, 76, 78syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝐹 ∈ oField) ∧ (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))
8079exp31 629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))))
8180a2d 29 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑚(.g𝐹)(1r𝐹))) → (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)((𝑚 + 1)(.g𝐹)(1r𝐹)))))
8219, 22, 25, 28, 34, 81nnind 11076 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐹 ∈ oField → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8382impcom 445 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))
84 fvex 6239 . . . . . . . . . . 11 (0g𝐹) ∈ V
85 ovex 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ V
8629pltne 17009 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ oField ∧ (0g𝐹) ∈ V ∧ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) ∈ V) → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8784, 85, 86mp3an23 1456 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ oField → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8887adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0g𝐹)(lt‘𝐹)(𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹))))
8983, 88mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g𝐹) ≠ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)))
9089necomd 2878 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) ≠ (0g𝐹))
9190neneqd 2828 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ oField ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹))
9291ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝐹 ∈ oField → ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹))
93 rabeq0 3990 . . . . 5 ({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹))
9492, 93sylibr 224 . . . 4 (𝐹 ∈ oField → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅)
9594iftrued 4127 . . 3 (𝐹 ∈ oField → if({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)} = ∅, 0, inf({𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦(.g𝐹)(1r𝐹)) = (0g𝐹)}, ℝ, < )) = 0)
9616, 95eqtrd 2685 . 2 (𝐹 ∈ oField → ((od‘𝐹)‘(1r𝐹)) = 0)
974, 96syl5eqr 2699 1 (𝐹 ∈ oField → (chr‘𝐹) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  c0 3948  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cn 11058  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  Posetcpo 16987  ltcplt 16988  Tosetctos 17080  Mgmcmgm 17287  Mndcmnd 17341  Grpcgrp 17469  .gcmg 17587  odcod 17990  CMndccmn 18239  1rcur 18547  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594  DivRingcdr 18795  Fieldcfield 18796  chrcchr 19898  oGrpcogrp 29826  oRingcorng 29923  oFieldcofld 29924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-toset 17081  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-od 17994  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-drng 18797  df-field 18798  df-chr 19902  df-omnd 29827  df-ogrp 29828  df-orng 29925  df-ofld 29926
This theorem is referenced by:  rerrext  30181  cnrrext  30182
  Copyright terms: Public domain W3C validator