Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofdivrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofdivrec 39019
Description: Function analogue of divrec 10885, a division analogue of ofnegsub 11202. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofdivrec ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹𝑓 · ((𝐴 × {1}) ∘𝑓 / 𝐺)) = (𝐹𝑓 / 𝐺))

Proof of Theorem ofdivrec
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐴𝑉)
2 simp2 1131 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 ffn 6198 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
42, 3syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐹 Fn 𝐴)
5 ax-1cn 10178 . . . 4 1 ∈ ℂ
6 fnconstg 6246 . . . 4 (1 ∈ ℂ → (𝐴 × {1}) Fn 𝐴)
75, 6mp1i 13 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐴 × {1}) Fn 𝐴)
8 simp3 1132 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
9 ffn 6198 . . . 4 (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) → 𝐺 Fn 𝐴)
108, 9syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 𝐺 Fn 𝐴)
11 inidm 3957 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
127, 10, 1, 1, 11offn 7065 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → ((𝐴 × {1}) ∘𝑓 / 𝐺) Fn 𝐴)
134, 10, 1, 1, 11offn 7065 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹𝑓 / 𝐺) Fn 𝐴)
14 eqidd 2753 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
15 1cnd 10240 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → 1 ∈ ℂ)
16 eqidd 2753 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
171, 15, 10, 16ofc1 7077 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐴 × {1}) ∘𝑓 / 𝐺)‘𝑥) = (1 / (𝐺𝑥)))
18 ffvelrn 6512 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
192, 18sylan 489 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
20 ffvelrn 6512 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
21 eldifsn 4454 . . . . . 6 ((𝐺𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
2220, 21sylib 208 . . . . 5 ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
238, 22sylan 489 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
24 divrec 10885 . . . . . 6 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0) → ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (1 / (𝐺𝑥))))
2524eqcomd 2758 . . . . 5 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0) → ((𝐹𝑥) · (1 / (𝐺𝑥))) = ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))
26253expb 1113 . . . 4 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0)) → ((𝐹𝑥) · (1 / (𝐺𝑥))) = ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))
2719, 23, 26syl2anc 696 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) · (1 / (𝐺𝑥))) = ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))
284, 10, 1, 1, 11, 14, 16ofval 7063 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑓 / 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) / (𝐺𝑥)))
2927, 28eqtr4d 2789 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) · (1 / (𝐺𝑥))) = ((𝐹𝑓 / 𝐺)‘𝑥))
301, 4, 12, 13, 14, 17, 29offveq 7075 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0})) → (𝐹𝑓 · ((𝐴 × {1}) ∘𝑓 / 𝐺)) = (𝐹𝑓 / 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  cdif 3704  {csn 4313   × cxp 5256   Fn wfn 6036  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  𝑓 cof 7052  cc 10118  0cc0 10120  1c1 10121   · cmul 10125   / cdiv 10868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator