Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofdivdiv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofdivdiv2 38946
Description: Function analogue of divdiv2 10850. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ofdivdiv2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐹𝑓 / (𝐺𝑓 / 𝐻)) = ((𝐹𝑓 · 𝐻) ∘𝑓 / 𝐺))

Proof of Theorem ofdivdiv2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 807 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐴𝑉)
2 simplr 809 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3 ffn 6158 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
42, 3syl 17 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐹 Fn 𝐴)
5 simprl 811 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
6 ffn 6158 . . . 4 (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) → 𝐺 Fn 𝐴)
75, 6syl 17 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐺 Fn 𝐴)
8 simprr 813 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
9 ffn 6158 . . . 4 (𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) → 𝐻 Fn 𝐴)
108, 9syl 17 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → 𝐻 Fn 𝐴)
11 inidm 3930 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
127, 10, 1, 1, 11offn 7025 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐺𝑓 / 𝐻) Fn 𝐴)
134, 10, 1, 1, 11offn 7025 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐹𝑓 · 𝐻) Fn 𝐴)
1413, 7, 1, 1, 11offn 7025 . 2 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → ((𝐹𝑓 · 𝐻) ∘𝑓 / 𝐺) Fn 𝐴)
15 eqidd 2725 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
16 eqidd 2725 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑓 / 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑓 / 𝐻)‘𝑥))
17 ffvelrn 6472 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
182, 17sylan 489 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
19 ffvelrn 6472 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
20 eldifsn 4425 . . . . . 6 ((𝐺𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
2119, 20sylib 208 . . . . 5 ((𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
225, 21sylan 489 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0))
23 ffvelrn 6472 . . . . . 6 ((𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
24 eldifsn 4425 . . . . . 6 ((𝐻𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((𝐻𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻𝑥) ≠ 0))
2523, 24sylib 208 . . . . 5 ((𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐻𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻𝑥) ≠ 0))
268, 25sylan 489 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐻𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻𝑥) ≠ 0))
27 divdiv2 10850 . . . 4 (((𝐹𝑥) ∈ ℂ ∧ ((𝐺𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑥) ≠ 0) ∧ ((𝐻𝑥) ∈ ℂ ∧ (𝐻𝑥) ≠ 0)) → ((𝐹𝑥) / ((𝐺𝑥) / (𝐻𝑥))) = (((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥)) / (𝐺𝑥)))
2818, 22, 26, 27syl3anc 1439 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) / ((𝐺𝑥) / (𝐻𝑥))) = (((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥)) / (𝐺𝑥)))
29 eqidd 2725 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
30 eqidd 2725 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑥))
317, 10, 1, 1, 11, 29, 30ofval 7023 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑓 / 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) / (𝐻𝑥)))
3231oveq2d 6781 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) / ((𝐺𝑓 / 𝐻)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥) / ((𝐺𝑥) / (𝐻𝑥))))
334, 10, 1, 1, 11, 15, 30ofval 7023 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥)))
3413, 7, 1, 1, 11, 33, 29ofval 7023 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹𝑓 · 𝐻) ∘𝑓 / 𝐺)‘𝑥) = (((𝐹𝑥) · (𝐻𝑥)) / (𝐺𝑥)))
3528, 32, 343eqtr4d 2768 . 2 ((((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) / ((𝐺𝑓 / 𝐻)‘𝑥)) = (((𝐹𝑓 · 𝐻) ∘𝑓 / 𝐺)‘𝑥))
361, 4, 12, 14, 15, 16, 35offveq 7035 1 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐺:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐻:𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))) → (𝐹𝑓 / (𝐺𝑓 / 𝐻)) = ((𝐹𝑓 · 𝐻) ∘𝑓 / 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  cdif 3677  {csn 4285   Fn wfn 5996  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  𝑓 cof 7012  cc 10047  0cc0 10049   · cmul 10054   / cdiv 10797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator