Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ofcccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofcccat 30850
Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ofcccat.1 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.2 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑆)
ofcccat.3 (𝜑𝐾𝑇)
Assertion
Ref Expression
ofcccat (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹𝑓/𝑐𝑅𝐾) ++ (𝐺𝑓/𝑐𝑅𝐾)))

Proof of Theorem ofcccat
StepHypRef Expression
1 ofcccat.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
2 ofcccat.2 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑆)
3 ofcccat.3 . . . 4 (𝜑𝐾𝑇)
4 fconst6g 6207 . . . 4 (𝐾𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇)
5 iswrdi 13416 . . . 4 (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
63, 4, 53syl 18 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
7 fconst6g 6207 . . . 4 (𝐾𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇)
8 iswrdi 13416 . . . 4 (((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}):(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
93, 7, 83syl 18 . . 3 (𝜑 → ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) ∈ Word 𝑇)
10 fzofi 12888 . . . . 5 (0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin
11 snfi 8154 . . . . 5 {𝐾} ∈ Fin
12 hashxp 13334 . . . . 5 (((0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})))
1310, 11, 12mp2an 710 . . . 4 (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾}))
14 wrdfin 13430 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹 ∈ Fin)
15 hashcl 13260 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
161, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
17 hashfzo0 13330 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
19 hashsng 13272 . . . . . . 7 (𝐾𝑇 → (♯‘{𝐾}) = 1)
203, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
2118, 20oveq12d 6783 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐹) · 1))
2216nn0cnd 11466 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
2322mulid1d 10170 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐹) · 1) = (♯‘𝐹))
2421, 23eqtrd 2758 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐹))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐹))
2513, 24syl5req 2771 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
26 fzofi 12888 . . . . 5 (0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin
27 hashxp 13334 . . . . 5 (((0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})))
2826, 11, 27mp2an 710 . . . 4 (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾}))
29 wrdfin 13430 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Word 𝑆𝐺 ∈ Fin)
30 hashcl 13260 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Fin → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
312, 29, 303syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℕ0)
32 hashfzo0 13330 . . . . . . 7 ((♯‘𝐺) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐺))) = (♯‘𝐺))
3433, 20oveq12d 6783 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = ((♯‘𝐺) · 1))
3531nn0cnd 11466 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐺) ∈ ℂ)
3635mulid1d 10170 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐺) · 1) = (♯‘𝐺))
3734, 36eqtrd 2758 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(0..^(♯‘𝐺))) · (♯‘{𝐾})) = (♯‘𝐺))
3828, 37syl5req 2771 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐺) = (♯‘((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
391, 2, 6, 9, 25, 38ofccat 13830 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))) = ((𝐹𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
40 ccatcl 13467 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐺 ∈ Word 𝑆) → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
411, 2, 40syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆)
42 wrdf 13417 . . . . 5 ((𝐹 ++ 𝐺) ∈ Word 𝑆 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
4341, 42syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ++ 𝐺):(0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺)))⟶𝑆)
44 ovexd 6795 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) ∈ V)
4543, 44, 3ofcof 30399 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})))
46 ccatlen 13468 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word 𝑆𝐺 ∈ Word 𝑆) → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
471, 2, 46syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐹 ++ 𝐺)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺)))
4847oveq2d 6781 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) = (0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))))
4948xpeq1d 5247 . . . . 5 (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
50 eqid 2724 . . . . . 6 ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})
51 eqid 2724 . . . . . 6 ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}) = ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})
52 eqid 2724 . . . . . 6 ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾})
5350, 51, 52, 3, 16, 31ccatmulgnn0dir 30849 . . . . 5 (𝜑 → (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})) = ((0..^((♯‘𝐹) + (♯‘𝐺))) × {𝐾}))
5449, 53eqtr4d 2761 . . . 4 (𝜑 → ((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾}) = (((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
5554oveq2d 6781 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅((0..^(♯‘(𝐹 ++ 𝐺))) × {𝐾})) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
5645, 55eqtrd 2758 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹 ++ 𝐺) ∘𝑓 𝑅(((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾}) ++ ((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
57 wrdf 13417 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
581, 57syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
5910a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ Fin)
6058, 59, 3ofcof 30399 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓/𝑐𝑅𝐾) = (𝐹𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})))
61 wrdf 13417 . . . . 5 (𝐺 ∈ Word 𝑆𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
622, 61syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑆)
6326a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐺)) ∈ Fin)
6462, 63, 3ofcof 30399 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑓/𝑐𝑅𝐾) = (𝐺𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾})))
6560, 64oveq12d 6783 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑓/𝑐𝑅𝐾) ++ (𝐺𝑓/𝑐𝑅𝐾)) = ((𝐹𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐹)) × {𝐾})) ++ (𝐺𝑓 𝑅((0..^(♯‘𝐺)) × {𝐾}))))
6639, 56, 653eqtr4d 2768 1 (𝜑 → ((𝐹 ++ 𝐺)∘𝑓/𝑐𝑅𝐾) = ((𝐹𝑓/𝑐𝑅𝐾) ++ (𝐺𝑓/𝑐𝑅𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1596  wcel 2103  Vcvv 3304  {csn 4285   × cxp 5216  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  𝑓 cof 7012  Fincfn 8072  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  0cn0 11405  ..^cfzo 12580  chash 13232  Word cword 13398   ++ cconcat 13400  𝑓/𝑐cofc 30387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-hash 13233  df-word 13406  df-concat 13408  df-ofc 30388
This theorem is referenced by:  ofcs2  30852
  Copyright terms: Public domain W3C validator