MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapvali Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oemapvali 8619
Description: If 𝐹 < 𝐺, then there is some 𝑧 witnessing this, but we can say more and in fact there is a definable expression 𝑋 that also witnesses 𝐹 < 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
oemapval.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
oemapval.f (𝜑𝐹𝑆)
oemapval.g (𝜑𝐺𝑆)
oemapvali.r (𝜑𝐹𝑇𝐺)
oemapvali.x 𝑋 = {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)}
Assertion
Ref Expression
oemapvali (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝐴,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑐   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧   𝐺,𝑐,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝐹,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑋(𝑐)

Proof of Theorem oemapvali
StepHypRef Expression
1 oemapvali.r . . 3 (𝜑𝐹𝑇𝐺)
2 cantnfs.s . . . 4 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
3 cantnfs.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
4 cantnfs.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ On)
5 oemapval.t . . . 4 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
6 oemapval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑆)
7 oemapval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝑆)
82, 3, 4, 5, 6, 7oemapval 8618 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑇𝐺 ↔ ∃𝑧𝐵 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))))
91, 8mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝐵 ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
10 ssrab2 3720 . . . 4 {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ 𝐵
11 oemapvali.x . . . . 5 𝑋 = {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)}
124adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐵 ∈ On)
13 onss 7032 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ⊆ On)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐵 ⊆ On)
1510, 14syl5ss 3647 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ On)
162, 3, 4cantnfs 8601 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑆 ↔ (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅)))
177, 16mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺:𝐵𝐴𝐺 finSupp ∅))
1817simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 finSupp ∅)
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐺 finSupp ∅)
2043ad2ant1 1102 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝐵 ∈ On)
21 simp2 1082 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝑐𝐵)
2217simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
23 ffn 6083 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵𝐴𝐺 Fn 𝐵)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 Fn 𝐵)
25243ad2ant1 1102 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝐺 Fn 𝐵)
26 ne0i 3954 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐) → (𝐺𝑐) ≠ ∅)
27263ad2ant3 1104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → (𝐺𝑐) ≠ ∅)
28 fvn0elsupp 7356 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ On ∧ 𝑐𝐵) ∧ (𝐺 Fn 𝐵 ∧ (𝐺𝑐) ≠ ∅)) → 𝑐 ∈ (𝐺 supp ∅))
2920, 21, 25, 27, 28syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐵 ∧ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)) → 𝑐 ∈ (𝐺 supp ∅))
3029rabssdv 3715 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅))
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅))
32 fsuppimp 8322 . . . . . . . 8 (𝐺 finSupp ∅ → (Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp ∅) ∈ Fin))
33 ssfi 8221 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 supp ∅) ∈ Fin ∧ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅)) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin)
3433ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝐺 supp ∅) ∈ Fin → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin))
3534adantl 481 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐺 ∧ (𝐺 supp ∅) ∈ Fin) → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin))
3632, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 finSupp ∅ → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ (𝐺 supp ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin))
3719, 31, 36sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin)
38 simprl 809 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧𝐵)
39 simprrl 821 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧))
40 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑧 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑧))
41 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑧 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑧))
4240, 41eleq12d 2724 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑧 → ((𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧)))
4342elrab 3396 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ↔ (𝑧𝐵 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧)))
4438, 39, 43sylanbrc 699 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
45 ne0i 3954 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ≠ ∅)
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ≠ ∅)
47 ordunifi 8251 . . . . . 6 (({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ On ∧ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ Fin ∧ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ≠ ∅) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
4815, 37, 46, 47syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
4911, 48syl5eqel 2734 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
5010, 49sseldi 3634 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋𝐵)
51 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
52 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑋))
5351, 52eleq12d 2724 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋)))
54 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑥))
55 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (𝐺𝑐) = (𝐺𝑥))
5654, 55eleq12d 2724 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → ((𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (𝐺𝑥)))
5756cbvrabv 3230 . . . . . 6 {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} = {𝑥𝐵 ∣ (𝐹𝑥) ∈ (𝐺𝑥)}
5853, 57elrab2 3399 . . . . 5 (𝑋 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋)))
5949, 58sylib 208 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋)))
6059simprd 478 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋))
61 simprrr 822 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))
623adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐴 ∈ On)
6322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝐺:𝐵𝐴)
6463, 50ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐺𝑋) ∈ 𝐴)
65 onelon 5786 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺𝑋) ∈ 𝐴) → (𝐺𝑋) ∈ On)
6662, 64, 65syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝐺𝑋) ∈ On)
67 eloni 5771 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑋) ∈ On → Ord (𝐺𝑋))
68 ordirr 5779 . . . . . . . . . 10 (Ord (𝐺𝑋) → ¬ (𝐺𝑋) ∈ (𝐺𝑋))
6966, 67, 683syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ¬ (𝐺𝑋) ∈ (𝐺𝑋))
70 nelneq 2754 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ¬ (𝐺𝑋) ∈ (𝐺𝑋)) → ¬ (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))
7160, 69, 70syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ¬ (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))
72 eleq2 2719 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑋 → (𝑧𝑤𝑧𝑋))
73 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑋 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑋))
74 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑋 → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑋))
7573, 74eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑋 → ((𝐹𝑤) = (𝐺𝑤) ↔ (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋)))
7672, 75imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑋 → ((𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ (𝑧𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))))
7776rspccv 3337 . . . . . . . . 9 (∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) → (𝑋𝐵 → (𝑧𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))))
7861, 50, 77sylc 65 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑧𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋)))
7971, 78mtod 189 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ¬ 𝑧𝑋)
80 ssexg 4837 . . . . . . . . . . 11 (({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ 𝐵𝐵 ∈ On) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ V)
8110, 12, 80sylancr 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ V)
82 ssonuni 7028 . . . . . . . . . 10 ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ V → ({𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ⊆ On → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ On))
8381, 15, 82sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} ∈ On)
8411, 83syl5eqel 2734 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋 ∈ On)
85 onelon 5786 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ On)
8612, 38, 85syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧 ∈ On)
87 ontri1 5795 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ On ∧ 𝑧 ∈ On) → (𝑋𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑋))
8884, 86, 87syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑋𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑋))
8979, 88mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋𝑧)
90 elssuni 4499 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} → 𝑧 {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)})
9190, 11syl6sseqr 3685 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑐𝐵 ∣ (𝐹𝑐) ∈ (𝐺𝑐)} → 𝑧𝑋)
9244, 91syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑧𝑋)
9389, 92eqssd 3653 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → 𝑋 = 𝑧)
94 eleq1 2718 . . . . . . 7 (𝑋 = 𝑧 → (𝑋𝑤𝑧𝑤))
9594imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑧 → ((𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
9695ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑋 = 𝑧 → (∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
9793, 96syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
9861, 97mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))
9950, 60, 983jca 1261 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ((𝐹𝑧) ∈ (𝐺𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))) → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
1009, 99rexlimddv 3064 1 (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ (𝐹𝑋) ∈ (𝐺𝑋) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑋𝑤 → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   cuni 4468   class class class wbr 4685  {copab 4745  dom cdm 5143  Ord word 5760  Oncon0 5761  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690   supp csupp 7340  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316   CNF ccnf 8596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-seqom 7588  df-1o 7605  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-cnf 8597
This theorem is referenced by:  cantnflem1a  8620  cantnflem1b  8621  cantnflem1c  8622  cantnflem1d  8623  cantnflem1  8624
  Copyright terms: Public domain W3C validator