MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe0m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe0m1 7762
Description: Ordinal exponentiation with zero mantissa and nonzero exponent. Proposition 8.31(2) of [TakeutiZaring] p. 67 and its converse. (Contributed by NM, 5-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oe0m1 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑𝑜 𝐴) = ∅))

Proof of Theorem oe0m1
StepHypRef Expression
1 eloni 5886 . . 3 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2 ordgt0ge1 7738 . . 3 (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1𝑜𝐴))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1𝑜𝐴))
4 oe0m 7759 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (∅ ↑𝑜 𝐴) = (1𝑜𝐴))
54eqeq1d 2754 . . 3 (𝐴 ∈ On → ((∅ ↑𝑜 𝐴) = ∅ ↔ (1𝑜𝐴) = ∅))
6 ssdif0 4077 . . 3 (1𝑜𝐴 ↔ (1𝑜𝐴) = ∅)
75, 6syl6rbbr 279 . 2 (𝐴 ∈ On → (1𝑜𝐴 ↔ (∅ ↑𝑜 𝐴) = ∅))
83, 7bitrd 268 1 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ (∅ ↑𝑜 𝐴) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1624  wcel 2131  cdif 3704  wss 3707  c0 4050  Ord word 5875  Oncon0 5876  (class class class)co 6805  1𝑜c1o 7714  𝑜 coe 7720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oexp 7727
This theorem is referenced by:  oev2  7764  oesuclem  7766  oecl  7778  oewordri  7833  oelim2  7836  oeoa  7838  oeoe  7840  cantnf  8755
  Copyright terms: Public domain W3C validator