MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oe0m0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oe0m0 7754
Description: Ordinal exponentiation with zero mantissa and zero exponent. Proposition 8.31 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oe0m0 (∅ ↑𝑜 ∅) = 1𝑜

Proof of Theorem oe0m0
StepHypRef Expression
1 0elon 5921 . . 3 ∅ ∈ On
2 oe0m 7752 . . 3 (∅ ∈ On → (∅ ↑𝑜 ∅) = (1𝑜 ∖ ∅))
31, 2ax-mp 5 . 2 (∅ ↑𝑜 ∅) = (1𝑜 ∖ ∅)
4 dif0 4097 . 2 (1𝑜 ∖ ∅) = 1𝑜
53, 4eqtri 2793 1 (∅ ↑𝑜 ∅) = 1𝑜
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  cdif 3720  c0 4063  Oncon0 5866  (class class class)co 6793  1𝑜c1o 7706  𝑜 coe 7712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oexp 7719
This theorem is referenced by:  oe0  7756  oev2  7757  oesuclem  7759  oecl  7771  oeoa  7831  oeoe  7833
  Copyright terms: Public domain W3C validator