Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odzdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odzdvds 15547
 Description: The only powers of 𝐴 that are congruent to 1 are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 26-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
odzdvds (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1) ↔ ((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem odzdvds
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 11339 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
21adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
3 odzcl 15545 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
43adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ)
54nnrpd 11908 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ+)
6 modlt 12719 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) < ((od𝑁)‘𝐴))
72, 5, 6syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) < ((od𝑁)‘𝐴))
8 nn0z 11438 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
98adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
109, 4zmodcld 12731 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0)
1110nn0red 11390 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℝ)
124nnred 11073 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ)
1311, 12ltnled 10222 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) < ((od𝑁)‘𝐴) ↔ ¬ ((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
147, 13mpbid 222 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ ((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
15 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) → (𝐴𝑛) = (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
1615oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) → ((𝐴𝑛) − 1) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1))
1716breq2d 4697 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
1817elrab 3396 . . . . . . . . 9 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ↔ ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
19 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . 11 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ ℕ
20 nnuz 11761 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
2119, 20sseqtri 3670 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ‘1)
22 infssuzle 11809 . . . . . . . . . 10 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} ⊆ (ℤ‘1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
2321, 22mpan 706 . . . . . . . . 9 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)} → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
2418, 23sylbir 225 . . . . . . . 8 (((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
2524ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))
26 odzval 15543 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((od𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
2726adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ))
2827breq1d 4695 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ↔ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑁 ∥ ((𝐴𝑛) − 1)}, ℝ, < ) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
2925, 28syl5ibr 236 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) → ((od𝑁)‘𝐴) ≤ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
3014, 29mtod 189 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
31 imnan 437 . . . . 5 ((𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ) ↔ ¬ (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
3230, 31sylibr 224 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) → ¬ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ))
33 elnn0 11332 . . . . . 6 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
3410, 33sylib 208 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
3534ord 391 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
3632, 35syld 47 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
37 simpl1 1084 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
3837nnzd 11519 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
39 dvds0 15044 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 0)
4038, 39syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ 0)
41 simpl2 1085 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4241zcnd 11521 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4342exp0d 13042 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
4443oveq1d 6705 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = (1 − 1))
45 1m1e0 11127 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
4644, 45syl6eq 2701 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑0) − 1) = 0)
4740, 46breqtrrd 4713 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1))
48 oveq2 6698 . . . . . 6 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) = (𝐴↑0))
4948oveq1d 6705 . . . . 5 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) = ((𝐴↑0) − 1))
5049breq2d 4697 . . . 4 ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑0) − 1)))
5147, 50syl5ibrcom 237 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0 → 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
5236, 51impbid 202 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1) ↔ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
534nnnn0d 11389 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0)
542, 4nndivred 11107 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℝ)
55 nn0ge0 11356 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
574nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 < ((od𝑁)‘𝐴))
58 ge0div 10928 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < ((od𝑁)‘𝐴)) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))
592, 12, 57, 58syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 ↔ 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))
6056, 59mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))
61 flge0nn0 12661 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) → (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
6254, 60, 61syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0)
6353, 62nn0mulcld 11394 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0)
64 zexpcl 12915 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
6541, 63, 64syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℤ)
6665zred 11520 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℝ)
67 1red 10093 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
68 zexpcl 12915 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
6941, 10, 68syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
7037nnrpd 11908 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
7142, 62, 53expmuld 13051 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) = ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))))
7271oveq1d 6705 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
73 zexpcl 12915 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
7441, 53, 73syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ)
75 1zzd 11446 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
76 odzid 15546 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1))
7776adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1))
78 moddvds 15038 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))
7937, 74, 75, 78syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) − 1)))
8077, 79mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
81 modexp 13039 . . . . . . . 8 ((((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
8274, 75, 62, 70, 80, 81syl221anc 1377 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑((od𝑁)‘𝐴))↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
8354flcld 12639 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ)
84 1exp 12929 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) = 1)
8583, 84syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) = 1)
8685oveq1d 6705 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1↑(⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
8772, 82, 863eqtrd 2689 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
88 modmul1 12763 . . . . . 6 ((((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)) → (((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
8966, 67, 69, 70, 87, 88syl221anc 1377 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁))
9042, 10, 63expaddd 13050 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))))
91 modval 12710 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ ((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))))
922, 5, 91syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))))
9392oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) = ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))))))
9463nn0cnd 11391 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) ∈ ℂ)
952recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
9694, 95pncan3d 10433 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 − (((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))))) = 𝐾)
9793, 96eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) = 𝐾)
9897oveq2d 6706 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴)))) + (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴𝐾))
9990, 98eqtr3d 2687 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴𝐾))
10099oveq1d 6705 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(((od𝑁)‘𝐴) · (⌊‘(𝐾 / ((od𝑁)‘𝐴))))) · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴𝐾) mod 𝑁))
10169zcnd 11521 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℂ)
102101mulid2d 10096 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) = (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))))
103102oveq1d 6705 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((1 · (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)))) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
10489, 100, 1033eqtr3d 2693 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁))
105104eqeq1d 2653 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)))
106 zexpcl 12915 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
10741, 106sylancom 702 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
108 moddvds 15038 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1)))
10937, 107, 75, 108syl3anc 1366 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝐾) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1)))
110 moddvds 15038 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
11137, 69, 75, 110syl3anc 1366 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
112105, 109, 1113bitr3d 298 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐴↑(𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴))) − 1)))
113 dvdsval3 15031 . . 3 ((((od𝑁)‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
1144, 9, 113syl2anc 694 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 mod ((od𝑁)‘𝐴)) = 0))
11552, 112, 1143bitr4d 300 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∥ ((𝐴𝐾) − 1) ↔ ((od𝑁)‘𝐴) ∥ 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ℝ+crp 11870  ⌊cfl 12631   mod cmo 12708  ↑cexp 12900   ∥ cdvds 15027   gcd cgcd 15263  odℤcodz 15515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-odz 15517  df-phi 15518 This theorem is referenced by:  odzphi  15548  pockthlem  15656  odz2prm2pw  41800  fmtnoprmfac2  41804
 Copyright terms: Public domain W3C validator