Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odumeet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odumeet 17361
 Description: Meets in a dual order are joins in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odumeet.j = (join‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
odumeet = (meet‘𝐷)

Proof of Theorem odumeet
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odumeet.j . 2 = (join‘𝑂)
2 oduglb.d . . . . . . 7 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3 eqid 2760 . . . . . . 7 (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
42, 3oduglb 17360 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
54breqd 4815 . . . . 5 (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐))
65oprabbidv 6875 . . . 4 (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
7 eqid 2760 . . . . 5 (join‘𝑂) = (join‘𝑂)
83, 7joinfval 17222 . . . 4 (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐})
9 fvex 6363 . . . . . 6 (ODual‘𝑂) ∈ V
102, 9eqeltri 2835 . . . . 5 𝐷 ∈ V
11 eqid 2760 . . . . . 6 (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
12 eqid 2760 . . . . . 6 (meet‘𝐷) = (meet‘𝐷)
1311, 12meetfval 17236 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
1410, 13mp1i 13 . . . 4 (𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
156, 8, 143eqtr4d 2804 . . 3 (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
16 fvprc 6347 . . . 4 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = ∅)
17 fvprc 6347 . . . . . . 7 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
182, 17syl5eq 2806 . . . . . 6 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
1918fveq2d 6357 . . . . 5 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = (meet‘∅))
20 meet0 17358 . . . . 5 (meet‘∅) = ∅
2119, 20syl6eq 2810 . . . 4 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = ∅)
2216, 21eqtr4d 2797 . . 3 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
2315, 22pm2.61i 176 . 2 (join‘𝑂) = (meet‘𝐷)
241, 23eqtri 2782 1 = (meet‘𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  ∅c0 4058  {cpr 4323   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  {coprab 6815  lubclub 17163  glbcglb 17164  joincjn 17165  meetcmee 17166  ODualcodu 17349 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-dec 11706  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ple 16183  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-odu 17350 This theorem is referenced by:  odulatb  17364  latdisd  17411  odudlatb  17417  dlatjmdi  17418
 Copyright terms: Public domain W3C validator